Differenzierbarkeit beweisen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei g: [mm] \IR \rightarrow \IR [/mm] eine in [mm] x_{0} [/mm] = 0 stetige Funktion. Sei f: [mm] \IR \rightarrow \IR [/mm] gegeben durch
f(x) := x * g(x).
Beweisen Sie, dass f in [mm] x_{0} [/mm] = 0 differenzierbar ist, und bestimmen Sie f'(0). |
Bei dieser Aufgabe muss ich ja für einen Punkt [mm] x_{0} [/mm] zeigen:
[mm] \limes_{x\rightarrow0_{+}} \bruch{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow0_{-}} \bruch{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}} [/mm] oder?
Also ich hab das zumindest gemacht
[mm] \limes_{x\rightarrow0_{+}} \bruch{x * g(x) - 0* g(x)}{x - 0} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow0_{+}} \bruch{x * g(x)}{x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow0_{+}} [/mm] g(x)
dasselbe kam bei [mm] x\rightarrow0_{-}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow0_{+}} [/mm] g(x) = [mm] \limes_{x\rightarrow0_{-}} [/mm] g(x)
f'(x) = g(x) + x * g'(x)
f'(0) = g(0).
Stimmt das so oder muss ich noch was machen oder hab ich was vergessen ?
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Huhu,
> Bei dieser Aufgabe muss ich ja für einen Punkt $ [mm] x_{0} [/mm] $ zeigen:
> $ [mm] \limes_{x\rightarrow0_{+}} \bruch{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}} [/mm] $ = $ [mm] \limes_{x\rightarrow0_{-}} \bruch{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}} [/mm] $ oder?
Dann solltest du im Grenzwert auch noch [mm] x_0 [/mm] schreiben und nicht 0.
Es reicht auch zu zeigen, dass
$ [mm] \limes_{x\rightarrow x_0} \bruch{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}} [/mm] $ existiert, was natürlich äquivalent ist zur Betrachtung von rechtsseitigem und linksseitigem GW und deren Gleichheit.
> Also ich hab das zumindest gemacht
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0_{+}} \bruch{x * g(x) - 0* g(x)}{x - 0}[/mm]
> = [mm]\limes_{x\rightarrow0_{+}} \bruch{x * g(x)}{x}[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow0_{+}}[/mm] g(x)
>
> dasselbe kam bei [mm]x\rightarrow0_{-}[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0_{+}}[/mm] g(x) =
> [mm]\limes_{x\rightarrow0_{-}}[/mm] g(x)
Sieht gut aus, auch wenn du keine Unterscheidung zwischen $0_+$ und $0_-$ machen musst. (siehe oben)
Dass der GW existiert, weißt du halt aus der Stetigkeit von g(x), sonst siehts gut aus 
> f'(x) = g(x) + x * g'(x)
Das ist falsch. Du weißt doch gar nicht, ob g'(x) überhaupt existiert für $x [mm] \not= [/mm] 0$.
> f'(0) = g(0).
Das stimmt wieder, haben wir ja eben ausgerechnet.
Wie gesagt, du kennst NUR f'(0), für alle anderen Werte (wie oben von dir angegeben), weißt du noch gar nichts.
MFG,
Gono.
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> > f'(x) = g(x) + x * g'(x)
> Das ist falsch. Du weißt doch gar nicht, ob g'(x) überhaupt > existiert für .
D.h. wenn ich das so hinschreibe:
f'(x) = g(x) + x * g'(x), für x = 0.
Dann ist das wieder richtig, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:50 Di 31.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > f'(x) = g(x) + x * g'(x)
>
> > Das ist falsch. Du weißt doch gar nicht, ob g'(x)
> überhaupt > existiert für .
>
> D.h. wenn ich das so hinschreibe:
>
> f'(x) = g(x) + x * g'(x), für x = 0.
>
> Dann ist das wieder richtig, oder?
Nein! $g$ muss nicht in 0 differenzierbar sein, also macht der Ausdruck $g'(0)$ keinen Sinn. Auch nicht wenn du ihn als "$g'(x)$ fuer $x = 0$" schreibst.
LG Felix
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