Differenzierbarkeit in R^2 < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] f(x,y)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } (x,y)= 0 \\ \bruch{xy}{\sqrt(x^2+y^2)} & \mbox{sonst}\end{cases}. [/mm] Ist f in (0,0) differenzierbar? |
Wie geht man hier ran? Welche Hilfsmittel nutzt man?
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Die Definition von Differenzierbarkeit im Mehrdimensionalen und/oder Polarkoordinaten.
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[mm] f(x)=f(x_0)++o(|x-x_0|)
[/mm]
Daraus kann ich mir nichts nehmen.
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Okay, ich habe jetzt mal die partiellen Ableitungen [mm] f_x'(0,0) [/mm] sowie [mm] f_y'(0,0) [/mm] ausgerechnet und komme auf [mm] f_x'(0,0)=f_y'(0,0)=0. [/mm] Folgt jetzt mit der Stetigkeit die Behauptung?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 So 27.04.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:41 Fr 25.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f(x)=f(x_0)++o(|x-x_0|)[/mm]
????
f ist in [mm] x_0 [/mm] differenzierbar, wenn es ein a [mm] \in \IR^n [/mm] gibt mit:
[mm]f(x)=f(x_0)++o(|x-x_0|)[/mm]
Ist f in [mm] x_0 [/mm] differenzierbar, so ist [mm] a=gradf(x_0)
[/mm]
Bei Deiner obigen Funktion f berechne also gradf(0) und prüfe ob
[mm] \bruch{f(x)-f(0)-}{|x|} \to [/mm] 0 für x [mm] \to [/mm] 0.
FRED
> Daraus kann ich mir nichts nehmen.
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gradf(0) haben wir aber in der Vorlesung gar nicht eingeführt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:45 Fr 25.04.2014 | | Autor: | fred97 |
[mm] gradf(0,0)=(f_x(0,0),f_y(0,0))
[/mm]
FRED
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also müsste dann:
[mm] \bruch{f(x)-f(x_0)-f_x_1(0,0)x_1-f_x_2(0,0)x_2}{|x|}\rightarrow [/mm] 0 für x gegen [mm] x_0?
[/mm]
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Ich hätte jetzt:
[mm] \bruch{f(x)-f(0)-f_x_1(0,0)x_1-f_x_2(0,0)x_2}{|x|}=\bruch{\bruch{x_1x_2}{|x|}-0-0-0}{|x|}=\bruch{x_1x_2}{|x|^2}\rightarrow \infinity [/mm] für x gegen 0.
[mm] \Rightarrow [/mm] f nicht diffbar in (0,0)?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:10 Fr 25.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ich hätte jetzt:
>
> [mm]\bruch{f(x)-f(0)-f_x_1(0,0)x_1-f_x_2(0,0)x_2}{|x|}=\bruch{\bruch{x_1x_2}{|x|}-0-0-0}{|x|}=\bruch{x_1x_2}{|x|^2}\rightarrow \infinity[/mm]
> für x gegen 0.
Hast Du Dich in f nicht geirrt ?
FRED
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] f nicht diffbar in (0,0)?
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Diese Antwort verstehe ich nicht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:35 Sa 26.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Diese Antwort verstehe ich nicht.
Pardon, ich hab mich vertan.
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:42 Sa 26.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ich hätte jetzt:
>
> [mm]\bruch{f(x)-f(0)-f_x_1(0,0)x_1-f_x_2(0,0)x_2}{|x|}=\bruch{\bruch{x_1x_2}{|x|}-0-0-0}{|x|}=\bruch{x_1x_2}{|x|^2}\rightarrow \infinity[/mm]
> für x gegen 0.
Dem Quelltext entnehme ich, dass Du schreiben wolltest:
[mm]\bruch{f(x)-f(0)-f_x_1(0,0)x_1-f_x_2(0,0)x_2}{|x|}=\bruch{\bruch{x_1x_2}{|x|}-0-0-0}{|x|}=\bruch{x_1x_2}{|x|^2}\rightarrow \infty[/mm] für x gegen 0.
Das stimmt nicht. Setzen wir [mm] h(x):=h(x_1,x_2):=\bruch{x_1x_2}{|x|^2}
[/mm]
Für [mm] x_1 \ne [/mm] 0 ist z.B.
[mm] h(x_1,0)=0
[/mm]
Für [mm] x_1=x_2 \ne [/mm] 0 ist [mm] h(x_1,x_2)=1/2
[/mm]
Das bedeutet: [mm] \limes_{x\rightarrow (0,0)}h(x) [/mm] existiert nicht !
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] f nicht diffbar in (0,0)?
Ja
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 So 27.04.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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