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Differenzierbarkeit linksrecht: Definition verstehen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:41 Fr 09.09.2022
Autor: Matheias

Hallo!

Ist an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] der linksseitige gleich dem rechtsseitigen Grenzwert der Differenzenquotientenfunktion, so ist $f$ differenzierbar bei [mm] $x_0$. [/mm]

Was ich nicht verstehe ist wieso man dies so definiert hat und was diese Definition motiviert.

Betrachten wir die Betragsfunktion $f(x) = |x|$ dann ist der tiefste Punkt dieser Funktion an der Stelle $0$, jedoch ist der linksseitige und rechtsseitigen Grenzwert and dieser Stelle -1 und 1, also ungleich und somit ist diese Funktion nicht (überall) differenzierbar.

Jetzt kann ich mir viele Funktionen mit einem Knick ansehen und all diese haben an der Stelle des Knicks ungleiche linksseitige und rechtsseitigen Grenzwerte der Differenzenquotientenfunktion.


1. Bei der Betrachtung von vielen Funktionen, kann man sehen dass bei "glatten" Funktionen der linksseitige gleich dem rechtsseitigen Grenzwert der Differenzenquotientenfunktion ist.
Bei Funktionen mit Ecken ist dies nicht der Fall. Kann man dass irgendwie allgemein beweisen?

2. Wieso definieren wir nur Funktionen als differenzierbar wenn der linksseitige gleich dem rechtsseitigen Grenzwert der Differenzenquotientenfunktion ist und was bringt uns das?

3. Es heißt dass wir etwas eindeutiges haben wollen, egal von welcher Richtung wir kommen.
Wieso wollen wir das und was bringt uns das?

4. Wenn wir eine Funktion differenzieren, dann hilft uns dies Extrema zu finden.
Verwenden wir die L/R-Grenzwert-Definition, verlieren wir viele Funktionen, deren Extrema ein Knick ist. Würde es nicht besser sein wenn man die Definition so verändert dass wir Funktionen mit Knicks als differenzierbar betrachten können, damit wir mehr Funktionen differenzieren können und deren Extrema berechnen können, egal wo diese liegen?









        
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Differenzierbarkeit linksrecht: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:19 Fr 09.09.2022
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo Matheias

In vielen Fällen muss man doch für die Untersuchung der Differenzierbarkeit
gar nicht speziell zwischen linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwertbildung
unterscheiden. Man verwendet einfach die Definition in einer Form, wo der
Hilfsparameter h sowohl positive als auch negative Werte annehmen kann.

Mit der Idee  "Extremalstellen einer Funktion f können an solchen Stellen x
auftreten, an welchen f'(x)=0 ist" , findet man eben halt nur jene Extremal-
stellen, in deren Umgebung der Graph differenzierbar ist. Das liegt einfach
daran, dass da die Existenz einer (eindeutig festgelegten) Tangente voraus-
gesetzt wird.

Weist ein Graph Stellen auf, an welchen keine Tangente existiert, muss
man das Verhalten an diesen Stellen halt speziell untersuchen. Wo dies
vorkommen kann, ist meistens auch recht offensichtlich.

Eine "Erweiterung" der Definition der Ableitung, um solche Fälle zu
umgehen, kann meiner Ansicht nach kaum sinnvoll sein. Man müsste
dabei wohl wesentliche Eigenschaften der Ableitungsfunktion quasi unter
den Teppich kehren.

LG ,    Al-Chw.



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Differenzierbarkeit linksrecht: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:10 Fr 09.09.2022
Autor: Matheias

Hallo Al-Chwarizmi und Danke für die Antwort. Hier einige Anmerkungen und Fragen:

Es ist klar dass man bei der Differenzierung das h gegen Null laufen lässt und es einem egal ist wie es sich der Null nähert.

Kannst du mir erklären wieso "einfach" eine eindeutige Tangente vorausgesetzt wird?

Für mich ist das definieren bzw. das Fordern von links/rechts Grenzwerten nicht intuitiv klar.
Wie kamen die Väter der Analysis darauf dies so zu definieren?
Haben diese irgendwie beweisen können dass jede Kurve eine eindeutige Tangente hat, egal ob man von Links oder Rechts kommt?

Den einzigen Nutzen den ich sehe, ist das man diese Definition für den Beweis verwendet um zu zeigen das $f'(x)=0$ ein Kandidat eines lokalen Extrema ist.

Zur Zeit fühlt sich diese Definition einfach so an, als wäre sie aus dem Himmel gefallen.
Wir verlangen links/rechts Grenzwert und diese müssen gleich sein damit wir die Funktion differenzierbar nennen.
Was genau dahinter steckt und wieso es einen Sinn macht dies zu fordern ist mein Problem.

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Differenzierbarkeit linksrecht: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:31 Fr 09.09.2022
Autor: fred97


> Hallo Al-Chwarizmi und Danke für die Antwort. Hier einige
> Anmerkungen und Fragen:
>  
> Es ist klar dass man bei der Differenzierung das h gegen
> Null laufen lässt und es einem egal ist wie es sich der
> Null nähert.
>  
> Kannst du mir erklären wieso "einfach" eine eindeutige
> Tangente vorausgesetzt wird?
>  
> Für mich ist das definieren bzw. das Fordern von
> links/rechts Grenzwerten nicht intuitiv klar.
>  Wie kamen die Väter der Analysis darauf dies so zu
> definieren?
>  Haben diese irgendwie beweisen können dass jede Kurve
> eine eindeutige Tangente hat, egal ob man von Links oder
> Rechts kommt?
>  
> Den einzigen Nutzen den ich sehe, ist das man diese
> Definition für den Beweis verwendet um zu zeigen das
> [mm]f'(x)=0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

ein Kandidat eines lokalen Extrema ist.

>  
> Zur Zeit fühlt sich diese Definition einfach so an, als
> wäre sie aus dem Himmel gefallen.
>  Wir verlangen links/rechts Grenzwert und diese müssen
> gleich sein damit wir die Funktion differenzierbar nennen.
>  Was genau dahinter steckt und wieso es einen Sinn macht
> dies zu fordern ist mein Problem.  


Ich denke, dass Du die Definition mit einem Satz verwechselst.

Konkret:

Sei I ein Intervall in \IR, $f:I \to \IR$ eine Funktion und $x_0 \in I.$.

Definition: $f$ ist in x_0 differenzierbar  $\gdw$ es ex. ein $a \in \IR$ mit

  $ \lim_{h \to 0}} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=a.$

In diesem Fall heißt a die Ableitung von f in x_0 und wird mit f'(x_0) bezeichnet.

Satz 1: Ist x_0 ein innerer Punkt von I, so gilt:
f ist in x_0 differenzierbar  \gdw die einseitigen Grenzwerte $ \lim_{h \to 0+0}} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ und $ \lim_{h \to 0-0}} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ existieren in \IR und sind gleich.

Jetzt zu Extremwerte:

Satz 2: Sei x_0 ein innerer Punkt von I und f habe in x_0 ein lokales Extremum und f sei in x_0 differenzierbar. Dann ist $f'(x_0)=0.$

Die Vor. " x_0 ein innerer Punkt von I" in Satz 2 ist wesentlich !

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Differenzierbarkeit linksrecht: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:18 Fr 09.09.2022
Autor: Matheias

Hallo fred97 und Danke für die Antwort!

Ich sehe gerade nicht wie ich das verwechselt haben soll.

Mit geht es vor allem um die Definition das eine Funktion nur als differenzierbar gilt, wenn der links/rechts Grenzwert des Diff-Quotienten existiert.
Woher diese Forderung stammt? Wieso dies gefordert wird? Wieso es Sinn macht?

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Differenzierbarkeit linksrecht: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:36 Fr 09.09.2022
Autor: Gonozal_IX

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hiho,

> Mit geht es vor allem um die Definition das eine Funktion
> nur als differenzierbar gilt, wenn der links/rechts
> Grenzwert des Diff-Quotienten existiert.

genau darauf wollte fred hinaus: Das ist NICHT die (standardmäßige) Definition der Differenzierbarkeit.
In dieser wird nur gefordert, dass der Grenzwert  $ \lim_{h \to 0}} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ existiert, da ist von links- und rechtsseitigem Grenzwert gar keine Rede.

Man kann jetzt zeigen, dass der obige Grenzwert an einer inneren Stelle $x_0$ existiert, genau dann, wenn der rechts- und linksseitige Grenzwert an dieser Stelle existieren und gleich sind.
Dies ist also ein Satz und keine Definition.

Dieser Satz ist dann hilfreich, wenn es einfacher ist, links- und rechtsseitigen Grenzwert getrennt voneinander zu bestimmen.

Gruß,
Gono

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Differenzierbarkeit linksrecht: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:38 Fr 09.09.2022
Autor: Matheias

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo Gonozal_IX und Danke für die Antwort.

Also dass dies ein Satz ist, also dass die links/rechts Grenzwerte des Differentialquotienten existieren und diese identisch sein müssen genau dann wenn $f$ diffbar ist, kannte ich nicht. Ich dachte dass das eine das andere aus Definition impliziert.

So wie ich das gelernt habe, war das wenn man folgenden Ausdruck sieht:
$ \lim_{h \to 0}} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} $,

immer implizit davon ausgeht das $h > 0$ oder $h < 0$ gelten darf, dies aber nicht hinschreibt.
Genau so wie man nicht schreibt das $h \not= 0$ gilt.
Einige Skripte tun dies, aber es soll eine Konvention sein dass man diese Eigenschaften von h nicht hinschreibt.


Ich werde den Satz und den Beweis mal suchen und studieren.
(Wenn ihr einen leicht zu verstehenden Beweis habt würde ich mich freuen, um so einfacher und detaillierter desto besser :)

Also was ich gelernt habe ist dass $ f'(x) = \lim_{h \to 0}} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} $ und wenn $f'(x) \in \IR$ dass man dann sagen kann, dass $f$ diffbar ist, egal wie man sich mit $h$ an die Null nähert.


> In dieser wird nur gefordert, dass der Grenzwert  $ \lim_{h \to 0}} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} $ existiert, da ist von links- und rechtsseitigem Grenzwert gar keine Rede.

Von was ist dann die Rede? Ist der Ausdruck nicht sinnlos ohne extra details?


Also man betrachtet die Funktion $ \lim_{h \to 0}} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} $ und man findet heraus das man in $\IR \to \IR $ von links und von rechts $h$ laufen lassen kann.
Nun kann es sein dass mit unterschiedlichen Laufrichtungen unterschiedliche Grenzwerte heraus kommen oder dass die Grenzwerte gleich sind.

Nun kamen die Mathematiker auf die Idee und haben einfach beschlossen:
"Wir nennen $f$ nur dann diffbar wenn die links/rechts Grenzwerte gleich sind"

Diese Idee wird bei den Grenzwerten von Funktionen schon etabliert.
Da heißt es dass eine Funktion einen Grenzwert besitzt, nur wenn die links/rechts Grenzwerte identisch sind, wenn nicht sagt man dass diese Funktion keinen Grenzwert hat. Wieso man das macht versteh ich nicht.
Ich kann doch genau wie bei Gleichungen sagen dass es keine, eine oder mehrere Lösungen gibt. Aber nein! man legt fest dass der Grenzwert eindeutig sein muss, egal wie man sich dem Grenzwert nähert.
Auch bei Folgen kann man sagen das eine Folge keinen, einen oder mehrere Grenzwerte haben kann.
Vielleicht kann man das etwas klarer machen?

Meine Vermutung ist folgende, was für mich gerade Sinn macht:
Wenn man sowas betrachtet wie ein Eckpunkt, was man als unnatürlich oder Anomalie verstehen kann, dann gibt es vielleicht eine Möglichkeit zu beweisen dass nur kurven den gleichen links/rechts Grenzwert des Differentialquotienten haben.

Oder diese Eigenschaft ist axiomatisch!
Also man hat einfach aus Betrachtung herausgefunden dass Eckpunkte unterschiedliche Grenzwerte haben, wenn man deren Differentialquotienten betrachtet und dann hat man gesagt:
"Bis jetzt sehe ich dieses verhalten nur bei Eckpunkten und da so ein Eckpunkt bei der Natur nicht vorkommt, und in der Natur nur kurven liefert, betrachten wir solche Funktionen als nicht diffbar.
Wir können dann axiomatisch festlegen das nur eine Kurve überall den gleichen links/rechts Grenzwert hat, wenn man deren Differentialquotienten betrachtet"

Dann ist man auf den Entschluss gekommen:
"Aufgrund dieser Eigenschaften die wir betrachtet haben, macht es nur Sinn mit eindeutigen Werten zu arbeiten, egal wie man sich dem Grenzwert nähert"


Hoffe meine Vermutung macht irgendwie Sinn.



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Differenzierbarkeit linksrecht: Stetig oder nicht
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:46 Sa 10.09.2022
Autor: Infinit

Hallo Matheias,
da ich kein Mathematiker bin, bin ich mit meinen Kommentaren zu diesem Thema etwas vorsichttig und werde Deine Frage auch nur auf "teilbeantwortet" stehen lassen. Aus meinen Ingenieurstudium her kenne ich den Begriff der stetigen Differenzierbarkeit, der, wenn auch vor 42 Jahren, für uns Ingenieure so definiert wurde, dass der rechts- und der linksseitige Grenzwert des Differenzenquotienten in diesem Falle gleich sind und man diesen Grenzwert dann als Ableitung bezeichnet. An dem von Dir erwähnten Eckpunkt würde dies nicht stimmen, da rechts- und linksseitiger Grenzwet unterschiedlich sind. Trotzdem wurden solche Funktionen als differenzierbar bezeichnet, wenn sie auch nicht stetig differenzierbar sind.
Viele Grüße,
Infinit

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Differenzierbarkeit linksrecht: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:26 Sa 10.09.2022
Autor: Al-Chwarizmi


> An dem von Dir erwähnten Eckpunkt
> würde dies nicht stimmen, da rechts- und linksseitiger
> Grenzwet unterschiedlich sind. Trotzdem wurden solche
> Funktionen als differenzierbar bezeichnet, wenn sie auch
> nicht stetig differenzierbar sind.


Hallo Infinit,

man hat euch damals aber hoffentlich nicht weismachen wollen,
dass beispielsweise die Funktion  f: x ---> |x|   an der Stelle x=0  
auch differenzierbar sei ?

LG ,   Al-Chw.

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Differenzierbarkeit linksrecht: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:15 Sa 10.09.2022
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

ich glaube dir fehlen schlichtweg wesentliche Grundlagen.
Du hast nicht verstanden, was der Ausdruck [mm] $\lim_{h\to 0}$ [/mm] wirklich bedeutet.

Schlage das nach!

> So wie ich das gelernt habe, war das wenn man folgenden
> Ausdruck sieht:
>  [mm]\lim_{h \to 0}} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} [/mm],
>  
> immer implizit davon ausgeht das [mm]h > 0[/mm] oder [mm]h < 0[/mm] gelten darf, dies aber nicht hinschreibt.

Das hast du garantiert nicht gelernt, das ist nämlich falsch.

>  Genau so wie man nicht schreibt das [mm]h \not= 0[/mm] gilt.

Das muss man auch nicht schreiben.
Wieso?
Dafür solltest du nachschlagen, was [mm] $\lim_{h\to 0}$ [/mm] bedeutet.

>  Einige Skripte tun dies, aber es soll eine Konvention sein
> dass man diese Eigenschaften von h nicht hinschreibt.

Das hat nix mit Konvention zu tun, sondern mit (sauberen) Definitionen.


> Also was ich gelernt habe ist dass [mm]f'(x) = \lim_{h \to 0}} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}[/mm]

Auch hier wieder: Das hast du garantiert nicht gelernt.
Wenn, dann überhaupt [mm]f'(x) = \lim_{h \to 0}} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}[/mm] und das auch nur, wenn die rechte Seite für alle $x$ existiert.

> und wenn [mm]f'(x) \in \IR[/mm] dass man dann sagen kann, dass [mm]f[/mm]
> diffbar ist, egal wie man sich mit [mm]h[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

an die Null nähert.
Differenzierbarkeit hängt in keiner Weise von $h$ ab.
Auch hier wieder: Du hast den Ausdruck $\lim_{h\to 0}$ nicht verstanden.
$ \lim_{h \to 0}} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ existiert überhaupt nur, wenn $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ für alle $h\to 0$ gegen den selben Wert konvergiert.
D.h. insbesondere, dass die Konvergenz unabhängig von $h \to 0$ ist.

>  Von was ist dann die Rede? Ist der Ausdruck nicht sinnlos ohne extra details?

Nein, die "details" sind Teil der Definition des (Funktionen-)Grenzwerts.

> Also man betrachtet die Funktion [mm]\lim_{h \to 0}} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}[/mm]
> und man findet heraus das man in [mm]\IR \to \IR[/mm] von links und
> von rechts [mm]h[/mm] laufen lassen kann.

Der Satz macht keinen Sinn.
Insbesondere schränkst du damit erst mal deine Folgen [mm] $h\to [/mm] 0$ grundlos ein. Was machst du denn mit Folgen, die mal links und mal rechts liegen?

>  Nun kann es sein dass mit unterschiedlichen Laufrichtungen
> unterschiedliche Grenzwerte heraus kommen oder dass die
> Grenzwerte gleich sind.

Ja.

>  
> Nun kamen die Mathematiker auf die Idee und haben einfach
> beschlossen:
>  "Wir nennen [mm]f[/mm] nur dann diffbar wenn die links/rechts
> Grenzwerte gleich sind"

Nein, sie kamen auf die Idee zu sagen: $f$ ist diffbar, wenn da für alle Folgen [mm] $h\to [/mm] 0$ derselbe Wert herauskommt.

> Diese Idee wird bei den Grenzwerten von Funktionen schon
> etabliert.
>  Da heißt es dass eine Funktion einen Grenzwert besitzt,
> nur wenn die links/rechts Grenzwerte identisch sind, wenn
> nicht sagt man dass diese Funktion keinen Grenzwert hat.

Auch in diesem Fall ist das ein Satz und keine Definition.
Die Definition ist stärker.

> Wieso man das macht versteh ich nicht.
>  Ich kann doch genau wie bei Gleichungen sagen dass es
> keine, eine oder mehrere Lösungen gibt. Aber nein! man
> legt fest dass der Grenzwert eindeutig sein muss, egal wie
> man sich dem Grenzwert nähert.

Ja.

>  Auch bei Folgen kann man sagen das eine Folge keinen,
> einen oder mehrere Grenzwerte haben kann.

Nein.
Auch da solltest du nochmal die Definition des (Folgen-)Grenzwerts nachschlagen.

Gruß,
Gono

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Differenzierbarkeit linksrecht: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:34 So 11.09.2022
Autor: Matheias

Ich weiss nicht wo ich Anfangen soll, außerdem wurde nicht auf all meine Zwischenfragen oder Vermutungen reagiert, aber aufgrund der Menge kann ich das verstehen, deshalb werde ich eine Frage nach der Anderen fragen.

Wieso definiert man den Grenzwert einer Funktion als existent, nur wenn der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert existiert?
Was bringt uns das? Was haben wir davon? Wieso macht das sinn?

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Differenzierbarkeit linksrecht: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:23 So 11.09.2022
Autor: Al-Chwarizmi


> Wieso definiert man den Grenzwert einer Funktion als
> existent, nur wenn der linksseitige und rechtsseitige
> Grenzwert existiert?

Kurz gesagt macht man das wohl genau deshalb, weil man
"künstliche" Probleme der Art, wie du sie hier aufbringen
möchtest, wenn möglich lieber vermeiden möchte.
Die Konzepte von Stetigkeit und  Differenzierbarkeit
beruhen darauf,dass man Funktionsverläufe nicht bloß "punktweise"
untersuchen und beschreiben will, sondern stets "umgebungsweise".
Man betrachtet also etwa den Graph nicht einfach "punktweise",
sondern quasi mit einer Lupe, in welcher man stets eine
(allenfalls nur ganz kleine) UMGEBUNG betrachtet.
Natürlich ist es dann möglich, durch "einseitige" Betrachtung
mit eingeschränktem Definitionsbereich auch die Begriffe
"linksseitig stetig", "rechtsseitig stetig", "linksseitig
differenzierbar", "rechtsseitig differenzierbar" einzuführen.
Es wäre aber kaum hilfreich, zuerst diese "einseitigen"
Begrifflichkeiten zu definieren und dann etwa den "normalen"
(und am häufigsten gebrauchten !) Begriff der Differenzierbarkeit
daraus zusammenzukleistern.

>  Was bringt uns das? Was haben wir davon? Wieso macht das
> sinn?

Nach meiner Ansicht geht es dabei um einen sparsamen Umgang
mit Definitionen im Sinne von "Ockhams Rasiermesser".


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Differenzierbarkeit linksrecht: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:23 So 11.09.2022
Autor: HJKweseleit

In der Physik gibt es z.B. im Bereich Optik die wichtige Funktion [mm] f(x)=\bruch{sin(x)}{x}. [/mm] Insbesondere benötigt man hier den Wert f(0). 0 kann man aber nicht einsetzen, das ist nicht definiert. Wenn man sich nun der 0 nähert, kommt 1 heraus, und zwar von links und rechts. Deshalb kann man 1 als Wert für die Definitionslücke einsetzen.

Betrachte stattdessen die Funktion [mm] f(x)=\bruch{\wurzel{4x^4+x^2}}{x}. [/mm]
Was kommt hier für 0 heraus? Der linke Grenzwert ist -1, der rechte 1, was soll man für f(0) dann nehmen?

Betrachte die x-y-Ebene im Koordinatensystem. Für jeden Punkt (x|y) kann man den Funktionswert

[mm] f(x|y)=\bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2} [/mm] berechnen. Was ist f(0|0)?

a) Wir nähern uns (0|0) auf der x-Achse, indem wir zuerst y=0 setzen: [mm] f(x|0)=\bruch{x^2-0^2}{x^2+0^2}=\bruch{x^2}{x^2}=1 [/mm] für [mm] x\ne [/mm] 0, also ist auch der Limes 1.

b) Wir nähern uns (0|0) auf der y-Achse, indem wir zuerst x=0 setzen: [mm] f(0|y)=\bruch{0^2-y^2}{0^2+y^2}=\bruch{-y^2}{y^2}=-1 [/mm] für [mm] y\ne [/mm] 0, also ist auch der Limes -1.

c) Wir nähern uns (0|0) auf der Geraden x=y: [mm] f(y|y)=\bruch{y^2-y^2}{y^2+y^2}=\bruch{y^2-y^2}{y^2+y^2}=\bruch{0}{2y^2}=0 [/mm] für [mm] y\ne [/mm] 0, also ist auch der Limes 0.

d) Wir nähern uns (0|0) auf der Geraden x=2y: [mm] f(2y|y)=\bruch{(2y)^2-y^2}{(2y)^2+y^2}=\bruch{4y^2-y^2}{4y^2+y^2}=\bruch{3y^2}{5y^2}=\bruch{3}{5} [/mm] für [mm] y\ne [/mm] 0, also ist auch der Limes [mm] \bruch{3}{5}. [/mm]

usw.

Hier gibt es beliebig viele Grenzwerte!

Zusatzbemerkung: Für die Funktion [mm] f(x|y)=\bruch{x^2-y^2}{x+y} [/mm] ist der Grenzwert aus allen Richtungen 0. Es liegt also nicht daran, dass es zwei verschiedene Variable gibt.

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Differenzierbarkeit linksrecht: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:38 Mo 12.09.2022
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ich weiss nicht wo ich Anfangen soll, außerdem wurde nicht
> auf all meine Zwischenfragen oder Vermutungen reagiert,
> aber aufgrund der Menge kann ich das verstehen, deshalb
> werde ich eine Frage nach der Anderen fragen.

erst mal solltest du Antworten, die man dir gibt, auch lesen.
Das tust du nicht, sonst wüsstest du bereits, dass deine Frage

> Wieso definiert man den Grenzwert einer Funktion als
> existent, nur wenn der linksseitige und rechtsseitige
> Grenzwert existiert?

nicht sinnvoll ist, weil deine Annahme nicht stimmt.
Noch ein letztes Mal: Man definiert den Grenzwert einer Funktion nicht als existent, wenn der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert existiert, auch wenn du das immer wieder behauptest.
Das ist eine Folgerung, keine Definition.

Ich stelle dir mal eine konkrete Gegenfrage: Wie ist denn der Ausdruck [mm] $\lim_{x\to x_0} [/mm] f(x)$ definiert?
Das solltest du erst mal erklären können, bevor Fragen nach dem "warum" etc. kommen.

Gruß,
Gono


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Differenzierbarkeit linksrecht: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:33 Mo 12.09.2022
Autor: Matheias

Danke für die Antwort, Hilfe und Zeit!

Als erstes möchte ich mich für meine Inkompetenz entschuldigen.
Ich lese mir dir Antworten gründlich durch, aber manchmal ist meine Schlussfolgerung falsch und die Quellen die ich im Internet gefunden habe, haben Sätze wie Definitionen präsentiert, wie dies hier:

https://math24.net/definition-limit-function.html

Wenn du möchtest kann ich dir andere Quellen zeigen.
Damit will ich nur zeigen wie ich auf diese Behauptungen gekommen bin.



Zu deiner frage:

> Wie ist denn der Ausdruck $ [mm] \lim_{x\to x_0} [/mm] f(x) $ definiert?

Dies ist der Grenzwert der Funktion $f$, wenn für jede (also alle) konvergenten Folgen $x$ die gegen [mm] $x_0$ [/mm] konvergieren, als Argument der Funktion verwendet werden.



Bezug
                                                                                        
Bezug
Differenzierbarkeit linksrecht: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:40 Mo 12.09.2022
Autor: fred97


> Danke für die Antwort, Hilfe und Zeit!
>  
> Als erstes möchte ich mich für meine Inkompetenz
> entschuldigen.
>  Ich lese mir dir Antworten gründlich durch, aber manchmal
> ist meine Schlussfolgerung falsch und die Quellen die ich
> im Internet gefunden habe, haben Sätze wie Definitionen
> präsentiert, wie dies hier:
>  
> https://math24.net/definition-limit-function.html
>  
> Wenn du möchtest kann ich dir andere Quellen zeigen.
>  Damit will ich nur zeigen wie ich auf diese Behauptungen
> gekommen bin.
>  
>
>
> Zu deiner frage:
>  > Wie ist denn der Ausdruck [mm]\lim_{x\to x_0} f(x)[/mm]

> definiert?
>  
> Dies ist der Grenzwert der Funktion [mm]f[/mm], wenn für jede (also
> alle) konvergenten Folgen [mm]x[/mm] die gegen [mm]x_0[/mm] konvergieren, als
> Argument der Funktion verwendet werden.
>  
>  


Mit Verlaub, aber das ist völlig schwammig und unpräzise !

Hier die Version mit Folgen:

Sei D eine Teilmenge von [mm] \IR, [/mm] f:D [mm] \to \R [/mm] eine Funktion, [mm] x_0 [/mm] ein Häufungspunkt von D und L [mm] \in \IR. [/mm]

$ [mm] \lim_{x\to x_0} [/mm] f(x) =L [mm] \gdw [/mm] $  für jede Folge [mm] (x_n) [/mm] in D [mm] \setminus \{x_0\} [/mm] mit [mm] x_n \to x_0 [/mm] gilt [mm] f(x_n) \to [/mm] L.

Bezug
                                                                                        
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Differenzierbarkeit linksrecht: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:27 Mo 12.09.2022
Autor: HJKweseleit


> Dies ist der Grenzwert der Funktion [mm]f[/mm], wenn für jede (also
> alle) konvergenten Folgen [mm]x[/mm] die gegen [mm]x_0[/mm] konvergieren, als
> Argument der Funktion verwendet werden.

Du meinst: y ist der Grenzwert von [mm] f(x_0), [/mm] wenn sich für alle gegen [mm] x_0 [/mm] konvergente Folgen der selbe y-Wert als Grenzwert der Funktion ergibt.

Ich habe dir in obigem Beitrag einige Beispiele gezeigt, bei denen dies der Fall oder nicht der Fall ist.

Wenn man die Folge einschränkt, kann man auch hier von einem Grenzwert (z.B. von einem rechtsseitigen oder linksseitigen) sprechen, aber nicht von DEM Grenzwert, wenn nicht alle Grenzwerte übereinstimmen.

So hat z.B. für [mm]n \in \IN [/mm] und n [mm] \mapsto \infty [/mm]
[mm] a_n [/mm] = Sin(n*180°)=0 den Grenzwert 0,
[mm] b_n [/mm] = sin(90°+n*360°)=1 den Grenzwert 1 usw., aber einen Grenzwert von sin(x) für x [mm] \mapsto \infty [/mm] gibt es nicht.

Bezug
                                                                                                
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Differenzierbarkeit linksrecht: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:10 Mo 12.09.2022
Autor: Matheias

Danke für eure Antworten!

Wenn alle Folgen die gegen [mm] $x_0$ [/mm] konvergieren in $f$ eingesetzt werden und alle Grenzwert der Funktion übereinstimmen, dann sprechen wir von DEM Grenzwert der Funktion, aber dann ist doch auch die linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwertbetrachtung doch automatisch drin, oder nicht?

Ich werde versuchen einige Beweise des Satzes:
"Eine Funktion besitzt einen eindeutigen Grenzwert, genau dann wenn alle linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwerte der Funktion existieren und übereinstimmen."
zu suchen und zu verstehen.

Ich bin sehr gespannt wie man das beweist, weil aus meiner SEHR NAIVEN Betrachtung, folgt es und da gibt es nichts zu beweise, weil wenn ich laut definition alle Folgen betrachte, sind doch die links/rechts Grenzwerte automatisch drin.


(Gedankenskizze des Beweises
Funktion hat einen Grenzwert
=> alle Folgen $x$ die gegen [mm] $x_0$ [/mm] konvergieren ergeben in $f$ den einen Grenzwert L
=> da alle folgen dies tun, gilt das auch für alle links/rechts folgen

Das kann aber nicht sein, das wäre viel zu trivial)

Ich melde mich wieder sobald ich den Satz gefunden habe und dessen Beweis verstanden habe!





Bezug
                                                                                                        
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Differenzierbarkeit linksrecht: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:35 Mo 12.09.2022
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Wenn alle Folgen die gegen [mm]x_0[/mm] konvergieren in [mm]f[/mm] eingesetzt
> werden und alle Grenzwert der Funktion übereinstimmen,
> dann sprechen wir von DEM Grenzwert der Funktion, aber dann
> ist doch auch die linksseitigen und rechtsseitigen
> Grenzwertbetrachtung doch automatisch drin, oder nicht?

Korrekt.


> Ich bin sehr gespannt wie man das beweist, weil aus meiner
> SEHR NAIVEN Betrachtung, folgt es und da gibt es nichts zu
> beweise, weil wenn ich laut definition alle Folgen
> betrachte, sind doch die links/rechts Grenzwerte
> automatisch drin.

Ja, aber die Umkehrung gilt doch nicht.

Heißt: Wenn eine Aussage für alle Folgen mit Grenzwert [mm] x_0 [/mm] gilt, dann insbesondere für alle, die von links bzw von rechts kommen.
Aber enthalten sind eben auch solche, die sowohl von links als auch von rechts sich annähern.

Die Stärke des Satzes liegt jetzt eben genau darin, dass er eine Aussage über die Umkehrung macht.
Wenn man zeigt, dass für alle von links kommenden Folgen und für alle von rechts kommenden Folgen der selbe Grenzwert herauskommt, gilt das auch für alle beliebigen Folgen mit Grenzwert [mm] $x_0$. [/mm]

D.h. es reicht sich ausschließlich auf einseitige Grenzwerte zu beschränken, um eine Aussage für alle Folgen zu erhalten.

Gruß,
Gono

>  
>
> (Gedankenskizze des Beweises
>  Funktion hat einen Grenzwert
>  => alle Folgen [mm]x[/mm] die gegen [mm]x_0[/mm] konvergieren ergeben in [mm]f[/mm]

> den einen Grenzwert L
>  => da alle folgen dies tun, gilt das auch für alle

> links/rechts folgen
>  
> Das kann aber nicht sein, das wäre viel zu trivial)
>  
> Ich melde mich wieder sobald ich den Satz gefunden habe und
> dessen Beweis verstanden habe!
>  
>
>
>  


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Differenzierbarkeit linksrecht: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:21 Di 13.09.2022
Autor: HJKweseleit


> Danke für eure Antworten!
>  

Wenn ich deine erneuten Fragen lese, habe ich den Eindruck, dass du dich mit meinen Beispielen und Erklärungen überhaupt nicht beschäftigst und deine Gedanken immer nur um deine Anfangsfrage kreisen, als ob dir noch nie jemand eine Antwort geschrieben hätte.

> Wenn alle Folgen die gegen [mm]x_0[/mm] konvergieren in [mm]f[/mm] eingesetzt
> werden und alle Grenzwert der Funktion übereinstimmen,
> dann sprechen wir von DEM Grenzwert der Funktion, aber dann
> ist doch auch die linksseitigen und rechtsseitigen
> Grenzwertbetrachtung doch automatisch drin, oder nicht?

Ja natürlich!!! und in meinem Beispiel mit x und y als Punkte im Koordinatensystem kommst du nicht nur von links und rechts, sondern von allen Seiten (Beispiel s.u.), als ob du auf einer Landkarte von allen Seiten auf einen Punkt in Berlin zufährst.
Bei [mm] f(x)=\bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2} [/mm] kommt aber je nach Annäherung an den Nullpunkt immer etwas anderes heraus, und deshalb gibt es nicht DEN Grenzwert.


>  
> Ich werde versuchen einige Beweise des Satzes:
>  "Eine Funktion besitzt einen eindeutigen Grenzwert, genau
> dann wenn alle linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwerte
> der Funktion existieren und übereinstimmen."
>  zu suchen und zu verstehen.

Das kann man nicht beweisen, das ist eine Definition (s.u.). Vielleicht meinst du Beispielrechnungen statt Beweise.

>  
> Ich bin sehr gespannt wie man das beweist, weil aus meiner
> SEHR NAIVEN Betrachtung, folgt es und da gibt es nichts zu
> beweise, weil wenn ich laut definition alle Folgen
> betrachte, sind doch die links/rechts Grenzwerte
> automatisch drin.
>  

Ja sicher.

>
> (Gedankenskizze des Beweises
>  Funktion hat einen Grenzwert
>  => alle Folgen [mm]x[/mm] die gegen [mm]x_0[/mm] konvergieren ergeben in [mm]f[/mm]

> den einen Grenzwert L
>  => da alle folgen dies tun, gilt das auch für alle

> links/rechts folgen
>  
> Das kann aber nicht sein, das wäre viel zu trivial)

Hurrah!!! Es ist so trivial!!!


>  
> Ich melde mich wieder sobald ich den Satz gefunden habe und
> dessen Beweis verstanden habe!
>  

Du findest den Satz und den Beweis nicht, weil es eine Definition ist. Wenn ich sage: "Eine ganze Zahl heißt gerade, wenn sie ganzzahlig durch 2 teilbar ist", dann kannst du das nicht beweisen, sondern es ist einfach eine Definition. Du kannst dann z.B. beweisen, dass 8 eine gerade Zahl ist, 9 aber nicht.



Noch mal ein Versuch mit einem anschaulichen, aber nicht-mathematischen Beispiel.

a) Betrachte eine Schultüte (= hohler Kegel), die mit der Spitze nach unten zeigt. Wenn du ein Kügelchen hineinwirfst, fällt es in die Spitze, rollt den Rand hinunter oder kreist sogar den Rand entlang, bis es auf Grund der Reibung in der Spitze landet. Egal, woher es kommt und wie es sich bewegt, alle solche Kügelchen landen, wenn sie sich der x-y-Koordinaten der Spitze nähern,  in der Spitze und damit in der selben Höhe. Die wäre dann DER Grenzwert der Annäherung.

b) Betrachte eine Wendeltreppe, deren Stufen waagerecht sind und sich um eine gemeinsame unendlich dünne senkrechte Stange winden. Nun gehst du auf deiner Stufe auf diese Stange zu. Je nachdem, auf welcher Stufe du dich befindest, landest du auf einer anderen Höhe. Es gibt also bei der Annäherung an die x-y-Koordinaten der Stange je nach Stufe eine andere Höhe, und für diese existiert also kein GEMEINSAMER Grenzwert. Deshalb sagt man: Es gibt nicht DEN Grenzwert.




Bei vielen Funktionen musst du bei der RECHNUNG nicht links- und rechtsseitigen Grenzwert extra betrachten. Nehmen wir z.B. die Ableitung von [mm] f(x)=x^2 [/mm] an der Stelle x=1. Dann ist

[mm] \bruch{f(1+h)-f(1)}{h}=\bruch{(1+h)^2-1^2}{h}=\bruch{1+2h+h^2-1}{h}=\bruch{2h+h^2}{h}=2+h [/mm]
Das geht für h [mm] \mapsto [/mm] 0 nach 2, egal, ob du von links (h negativ) oder rechts (h positiv) kommst, und DER Grenzwert ist 2.

Für f(x)=|x| musst du aber unterscheiden: Für x=0 gilt
[mm] \bruch{f(0+h)-f(0)}{h}=\bruch{|0+h|-|0|}{h}=\bruch{|h|}{h}= [/mm]
a) [mm] \bruch{h}{h}=1, [/mm] falls h positiv
b) [mm] \bruch{-h}{h}=-1, [/mm] falls h negativ
und beide Zahlen sind auch die unterschiedlichen Grenzwerte von rechts und links. Es gibt also DEN Grenzwert nicht.

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Differenzierbarkeit linksrecht: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:24 Mo 19.09.2022
Autor: Matheias

Hallo HJKweseleit

> Du findest den Satz und den Beweis nicht, weil es eine Definition ist.

Das stimmt so nicht, hier kannst du den Satz und den Beweis finden:

https://sites.millersville.edu/bikenaga/calculus1/left-and-right-limits/left-and-right-limits.html

http://mathonline.wikidot.com/the-uniqueness-of-limits-of-a-function-theorem

Gonozal_IX hat geschrieben wieso dieser Satz so wichtig ist, aber für mich ist das noch nicht einleuchtend und noch nicht klar, da für mich der Satz irgendwie trivial ist und aus der Definition direkt folgt. Wieso genau dass ein Satz ist und die Erklärung von Gonozal_IX muss ich noch verstehen.


Ich komme nun zurück zu meinen anfänglichen Fragen:

Wieso ist der Grenzwert einer Funktion so definiert wie er ist.
Also eindeutig und alle Folgen müssen betrachtet werden, und wieso gilt das auch für den Differentialquotienten.


Nach dem ich mit einigen Freunden darüber diskutieren konnte, habe ich viel dazugelernt.

------------------------------------------------------------------------------------------
ACHTUN! Wenn ich Unsinn schreiben sollte, bitte ich um Korrektur!
Dies ist eine detaillierte Zusammenfassung, was ich aus einigen Büchern und Diskussionen ermittelt habe!
Ich habe etwas ausgeholt und verwende Prosa, um mögliche Fehler in meiner Art zu denken zu finden.
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Die Mathematik ist getrieben durch Beobachtungen, Anwendung, Nützlichkeit und Pragmatismus.
Das gleiche gilt für Definitionen in der Mathematik.
Nützliche und immer wiederkehrende Objekte/Strukturen und Eigenschaften bekommen einen Namen, es wird also definiert.

Aber wie wird definiert? Nun, in der Mathematik wird ein Objekt nach ihren Eigenschaften definiert.
Eine Eigenschaft wird nach ihrem Verhalten definiert.
So eine Definition fällt nicht so aus dem Himmel. Es muss gut beobachtet werden und dann wird versucht diese Beobachtung formal sauber, eindeutig und mathematisch formuliert.

Ich will hier Albrecht Beutelspacher zitieren:
„Jede Definition ist ein schöpferischer Akt!
Es ist bei der mathematischen Arbeit entscheidend, den wichtigen Objekten und Eigenschaften Namen zu geben. Dadurch werden Begriffe geschaffen und diese einer Betrachtung zugänglich gemacht.“

Man kann eigentlich alles so definieren wie man will, die Frage ist dann nur ob es sinnvoll ist oder nicht. Genauer: „Kann ich mit meiner Definition was Anfangen und gibt es dafür Anwendungen oder nicht?“

Die Mathematiker treiben diesen Prozess der Beschreibung/Definition weiter, mit dem Ziel alles zu verallgemeinern, abstrakter zu machen, damit man nicht nur in einer Anwendung und Betrachtung gefangen bleibt und untersucht Strukturen auf weitere Unterstrukturen.

Ausgehend von Definition (aber auch Axiomen), kann man dann Sätze finden und allgemein beweisen.
Kann man nun zeigen das ein Objekt einer Definition entspricht, so bekommt man automatisch alle Erkenntnisse/Eigenschaften die man in den Sätzen, bezüglich der Definition, beweisen konnte.

Betrachtete wir den Begriff der Funktion, also einer Relation wo jedes Element aus der Definitionsmenge genau einen Element aus dem Wertebereich zugeordnet wird. Der Grund wieso dieses Objekt würdig ist definiert zu werden, mit der beschriebenen Eigenschaft, ist weil eine Funktion überall im wirklichen Leben genau so vorkommt.

Man findet unendliche viele Anwendungsmöglichkeiten für Funktionen, ob in der Physik, Wirtschaft, Biologie oder Informatik. Einige Beispiele wären:
- jeder Produktmenge x ist genau einem Preis y zugeordnet
- jeder Position x des Gaspedals ist einer Leistung y zugeordnet

Solche Beobachtungen haben die Definition einer Funktion getrieben/inspiriert und sorgten dafür wieso eine Funktion wohldefiniert/eindeutig sein muss.

Betrachtet man den Begriff der Stetigkeit, so stammt auch diese Eigenschaf aus Beobachtungen.
Leibniz dachte das alle natürlichen Prozesse stetig sind, d.h. dass ein natürlicher Prozess keine Sprünge oder Lücken hat. Man konnte dann alle Naturvorgänge durch stetige Funktionen beschreiben.
Wieder einmal hat die Beobachtung und die Anwendung es nötig gemacht dass man Stetigkeit definiert, da sowas immer wieder auftaucht.

Im großen ist die Physik stetig, also sprungfrei und wird auch als Kontinuum bezeichnet.

Später hat Max Planck herausgefunden, dass die Natur doch Sprünge macht.
Dies kann man im mikroskopisch Kleinen beobachten, was der Grundgedanke der Quantenphysik war.





Als ich meine Fragen gestellt habe, kamen immer Beispiele, woran der Sinn der Definition mir versucht wurde zu erklären. Mit anderen Worten wurde gezeigt, dass wenn man die Definition so nimmt wie sie ist, man in der Lage ist bestimmte Typen von Funktionen zu beschreiben.

Betrachtet man die Definition eines Grenzwert einer Funktion, dann sagt man dass eine Funktion nur einen Grenzwert an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] besitzt, wenn der Grenzwert eindeutig ist, d.h. wenn man alle Folgen $x$ die gegen [mm] $x_0$ [/mm] konvergieren in der Funktion einsetzt.

Der Grund wieso man dies macht ist weil solche Funktion, meist stetige Funktionen (natürlich wenn der Grenzwert Element des Wertebereich ist), “the real deal“ sind, also immer wieder in der Natur auftauchen und viele Anwendungen haben.
Kurz gesagt solche Funktionen sind „die Funktionen“ und haben „den Grenzwert“.

Mit dieser Definition können wir nun vieles machen und zwar:
- wir können zeigen das eine Funktion Sprünge oder Lücken hat, also komisch/unnatürlich/nicht stetig
- wir können auch ausdrücken, dass wenn eine Funktion stetig ist, dass der Grenzwert der Funktion teil des Wertebereich ist, was man für Beweise verwenden kann

Diese Definition ist auch nicht aus dem Himmel gefallen. Betrachtete man eine stetige Funktion, dann kann man sich jedem Punkt annähern, egal wie.
„Einen Punkt annähern“, da gab es doch etwas? Genau, wir verwenden Folgen weil wir ein Werkzeug haben, um uns einem Punkt beliebig zu nähern.

Aber wieso müssen wir Folgen die gegen diese Stelle konvergieren betrachten?
Ganz einfach. Nehmen wir nur eine Folge und packen die in einer Funktion rein, dann würden wir nur einen kleinen Bereich der Funktion „berühren“. Hat man also die Funktion $f(x) = x$ und man interessiert sich für die Stelle 0 und würde nur die Nullfolge [mm] $a_n [/mm] = 1/n$ in $f$ einsetzen, dann würden wir nur die Elemente 1, 0.5, 0.3, 0.25 etc. im Wertebereich treffen.
Zwischen diesen Werten könnte es aber eine Lücken geben. Damit wir alle Stellen der Funktion „berühren“  und keinen Bereich „unberührt“ lassen, fordern wir das wir alle Folgen betrachten müssen, die gegen der Stelle 0 konvergieren.

Eine Funktion die eine Lücke hat, hat aus Beobachtungen unterschiedliche Grenzwerte, wenn man unterschiedliche Folgen in der Funktion verwendet, die aber den gleichen Grenzwert besitzen.
Auch hier sieht man, dass diese Definition aus diesen Beobachtungen kommt.


Betrachten wir nun den Differentialquotienten und wieso wir für den Grenzwert auch Eindeutigkeit fordern. Auch diese Definition und die Forderung ist getrieben durch Beobachtung und Nützlichkeit.

Betrachten wir die Funktion $f(x) = [mm] -x^2 [/mm] + 3$ und wollen die Extremstelle finden, dann könnten wir rein geometrisch eine Tangente nehmen, welche parallel zur x-Achse ist. Wir lassen dann die Tangente von oben nach unten wandern. Der Punkt, welcher diese Tangente berührt ist die (mögliche) Extremstelle. Klar ist das diese Tangente eine Steigung von 0 haben muss, was wieder aus der Beobachtung kommt.

In der Mathematik muss solch eine Tangente konstruiert werden, einen anderen Weg gibt es nicht.
Man nimmt hierzu eine Sekante und überführt sie in die Tangente. Klar ist das solch eine Tangente eindeutig sein muss, da nur diese eine (mögliche) Extremstelle liefern kann.

Aus Beobachtungen wird dann klar, dass Funktionen mit „natürlicher“ Steigung, also „glatten“ Funktionen,   einen Grenzwert haben, wenn man deren Differentialquotienten betrachtet.

Aus Beobachtungen wir auch klar, das Funktionen mit „unnatürlichen“ Steigungen, also Funktionen mit Knicken, keinen Grenzwert haben (also unterschiedliche), wenn man deren Differentialquotienten betrachtet. Ein Knick, also eine plötzliche Änderung ist unnatürlich.
Man stelle sich vor das ein Flugzeug ein Knick macht, das würde keiner überleben.

Da Funktionen, dessen Differentialquotienten existiert „the real deal“ sind, also in der Natur immer wieder vorkommen und diese viele Anwendungen haben, definiert man halt den Begriff mit den Eigenschaften die man herausgefunden hat, also in unserem Fall dass der Grenzwert des Differentialquotienten eindeutig ist und dies für alle Grenzwerte gelten muss. (In unserem Fall mit der h-Methode für alle Nullfolgen).
Außerdem bleibt man konsistent, da der Differentialquotienten auch eine Funktion ist, welcher einen Grenzwert haben muss, wie wir es bei Funktionen definiert haben.


FAZIT:
- Beobachtungen und Anwendungen treiben und inspirieren mathematische Definitionen
- Meistens wird etwas in der Mathematik definiert, was aus der Anwendung kommt,
  z.B. Physik, Wirtschaft Biologie etc.
- Die Eigenschaften von Objekte die immer wieder vorkommen und in anderen Wissenschaften angewendet werden, fasst man in einer Definition zusammen.






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Differenzierbarkeit linksrecht: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:44 Di 20.09.2022
Autor: HJKweseleit


> Hallo HJKweseleit
>  
> > Du findest den Satz und den Beweis nicht, weil es eine
> Definition ist.
>  
> Das stimmt so nicht, hier kannst du den Satz und den Beweis
> finden:
>  
> https://sites.millersville.edu/bikenaga/calculus1/left-and-right-limits/left-and-right-limits.html
>  
> http://mathonline.wikidot.com/the-uniqueness-of-limits-of-a-function-theorem
>  

Tja, auch mit 72 Jahren lernt man immer noch dazu. (Gottseidank!)

Mir ist bisher nie in den Sinn gekommen, dass es eines solchen Beweises bedarf. Ich habe die beiden Artikel nur flüchtig angesehen und intuitiv Folgendes erkannt:

Linksseitiger Grenzwert: alle beliebigen Folgen von links konvergieren zum selben Wert.
Rechtsseitiger Grenzwert: analog

Gemeinsamer Grenzwert: analog, aber:

Das bedeutet nun (und darüber habe ich mir bisher keine Gedanken gemacht), dass jede BELIEBIGE Folge zu diesem Wert konvergieren muss, also auch insbesondere Folgen, die teilweise von links und teilweise von rechts kommen - und deshalb muss noch extra bewiesen werden, dass, wenn links- und rechtsseitiger Grenzwert gleich sind, auch "hin- und herspringende" Folgen zu diesem Wert konvergieren.

Triviales Beispiel:
1/2, 1/3, 1/4, ... 1/n konvergiert von rechts gegen 0,
-1/2, -1/3, -1/4, ... -1/n konvergiert von links gegen 0,
1/2, -1/3, 1/4, -1/5... [mm] (-1)^n/n [/mm] dann ebenfalls.

Wieder etwas schlauer geworden.



> Gonozal_IX hat geschrieben wieso dieser Satz so wichtig
> ist, aber für mich ist das noch nicht einleuchtend und
> noch nicht klar, da für mich der Satz irgendwie trivial
> ist und aus der Definition direkt folgt. Wieso genau dass
> ein Satz ist und die Erklärung von Gonozal_IX muss ich
> noch verstehen.

Deine folgenden Erklärungen sind genau das, worum es geht.

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Differenzierbarkeit linksrecht: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:45 Di 20.09.2022
Autor: ChopSuey

Was genau ist der Sinn dieses ewig langen Textes? Inwiefern beantwortet das die ursprüngliche Frage?


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Differenzierbarkeit linksrecht: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:02 So 11.09.2022
Autor: HJKweseleit

An den Stellen, an denen ein Funktionsgraph einen Knick hat, ist die Ableitung dort nicht definiert. Wenn du nun sagst, dass die Funktion dort auch diffbar sein soll, erhältst du "normaler Weise" zwei verschiedene Werte wie bei f(x)=|x|. Dann ist aber die Ableitung dort keine Funktion mehr, denn eine Funktion hat für einen x-Wert genau einen Funktionswert. Was wäre bei f(x)=|x| denn f'(0)?

Es gibt nun viele mathematische Erkenntnisse und Verfahren, die so anfangen: "Wenn eine Funktion n-mal differenzierbar ist, dann...". Fast alle diese Aussagen werden aber unsinnig, wenn man man Funktionen als diffbar bezeichnet, bei denen der Differenzquotient links und rechts verschiedene Grenzwerte hat.

Beispiel: Ist eine Funktion f im Intervall [a|b] stetig und im Intervall ]a|b[ differenzierbar und ist f(a)=f(b)=0, so gibt es ein x [mm] \in [/mm] ]a|b[ mit f'(x)=0.

Auf diesem Satz fußen unheimlich viele Beweise.

Betrachte nun f(x)=|x|-1.

[mm] f(-1)=f(1)=|\pm [/mm] 1|-1=0, aber nirgendwo ist f'(x)=0, sondern links von 0 ist f'(x)=-1, rechts davon +1 und für 0 nicht definiert.

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