Differenzierbarkeit mit Taylor < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] \gamma:[-1,1]\to\mathb{R}^n, t\mapsto \gamma(t)
[/mm]
$ [mm] \gamma(t)=\left\{\begin{array}{cl} (-t^2,0), & \mbox{falls } -1\leq t\leq 0\\ (0,t^2), & \mbox{falls} 0\leq t\leq 1\end{array}\right. [/mm] $
Zeige [mm] \gamma [/mm] ist stetig differenzierbar und bestimme [mm] \gamma' [/mm] |
Diese Aufgabe ist eigentlich ein Besipiel aus unserem Skript, in dem diese nur verwendet wird. Ich möchte das jetzt aber als Übung zeigen.
Und zwar möchte ich das mit dieser Taylorformel machen:
(Definition aus Skript für eine Abbildung f:)
Sei [mm] U\subset\mathbb{R}^n [/mm] offen und [mm] V_x:=\{h\in\mathbb{R}^n\vert x+h\in U\} [/mm] f+r [mm] x\in [/mm] U.
Dann heißt [mm] f:U\to\mathbb{R}^m [/mm] an der Stelle [mm] x\in [/mm] U differenzierbar genau dann, wenn gilt:
Es gibt [mm] A(x)\in L(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^m) [/mm] und eine im Nullpunkt stetige Abbildung [mm] r(x,\cdot):V_x\to\mathbb{R}^m [/mm] mit r(x,0)=0 so, dass gilt:
[mm] f(x+h)=f(x)+A(x)h+r(x,h)\vert h\vert
[/mm]
Wenn A eindeutig ist, hab ich da aber viel zu probieren, um die Ableitung zu finden.
Habe ich da überhaupt eine Chance?
Also wenn ich das bisher für [mm] -1\leq t\leq [/mm] 0 richtig gemacht habe, dann lautet die Jacobi-Matrix [mm] J_\gamma=\begin{pmatrix} -2t \\ 0 \end{pmatrix}=:At
[/mm]
Damit habe ich dann schonmal [mm] \gamma(t+h)=\gamma(t)+At\cdot h+r(t,h)\vert h\vert
[/mm]
Vor allem tatsächlich, wenn ich [mm] r(t,h)=\begin{pmatrix} -|h| \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] wähle
bekommen ich [mm] \begin{pmatrix} -t^2 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} -2th \\ 0 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} -|h| \\ 0 \end{pmatrix}|h| [/mm] =
[mm] \begin{pmatrix} -(t^2+1th+h^2) \\ 0 \end{pmatrix}=\gamma(t+h)
[/mm]
Das einzige ist nur, -|h| ist nicht stetig in 0.
hm... gehe ich überhaupt richtig daran? gibt es vielleicht ein schema F um Differenzierbar im [mm] R^n [/mm] zu zeigen, von dem ich nichts weiß. Aber das gibt's ja eigentlich nie.
wenn ich die partiellen ableitungen bilde und sie existieren, heißt es ja nnoch nicht dass ganz [mm] \gamma [/mm] differenzier bar ist, oder?
Also auch die Frage: Wie gehe ich prinzipiell an solche Aufgabenstellungen heran?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:09 Fr 17.09.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu,
ich hab die Aufgabe jetzt nur überflogen, darum nur als Mitteilung:
> Das einzige ist nur, -|h| ist nicht stetig in 0.
Da irrst du. Die Betragsfunktion ist überall stetig. Sie ist in Null nur nicht Differenzierbar.
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 So 19.09.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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