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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:45 Fr 07.12.2007 | | Autor: | howtoadd |
| Aufgabe | Wir haben die Standardfunktion sin und cos noch nicht in der vorlesung definiert. Wir wollen für diese Übungaber trotzdem vorraussetzen, dass |sin [mm] (x)|\le [/mm] 1 und |cos (x)| [mm] \le [/mm] 1, für ale x [mm] \in \IR. [/mm] es gilt sin' = cos cos '= -sin, und außerdem sin (2 [mm] \pi [/mm] k + [mm] \pi [/mm] / 2) = 1 und cos (2 [mm] \pi [/mm] k) =1 für alle k [mm] \in \IZ.
[/mm]
Sei nun eine funktion f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] wie folgt definiert:
f (x)= sin (1/x), falls x [mm] \not= [/mm] 0
= 0 , falls x = 0,
(a) was ist f' (x), wenn x [mm] \not= [/mm] 0
(b) ist f stetig in 0?
(c) ist f differenzierbar in 0 ?
(d) für welche n [mm] \in \IN [/mm] ist die funktion g(x) = [mm] x^{n} [/mm] f(x) differenzierbar in 0? |
hallo an alle!
also ich verstehe die aufgabe nicht um sie lösen zu können, das mit cos und sin bringt mich durcheinander... was sagt mir dieser teil? was bedeutet das?
|sin [mm] (x)|\le [/mm] 1 und |cos (x)| [mm] \le [/mm] 1, für ale x [mm] \in \IR. [/mm] es gilt sin' = cos cos '= -sin, und außerdem sin (2 [mm] \pi [/mm] k + [mm] \pi [/mm] / 2) = 1 und cos (2 [mm] \pi [/mm] k) =1 für alle k [mm] \in \IZ.
[/mm]
vielleicht kann ich dann die aufgabe besser lösen...
danke!
ich habe die frage in keinem anderen forum gestellt.
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> Wir haben die Standardfunktion sin und cos noch nicht in
> der vorlesung definiert. Wir wollen für diese Übungaber
> trotzdem vorraussetzen, dass |sin [mm](x)|\le[/mm] 1 und |cos (x)|
> [mm]\le[/mm] 1, für ale x [mm]\in \IR.[/mm] es gilt sin' = cos cos '= -sin,
> und außerdem sin (2 [mm]\pi[/mm] k + [mm]\pi[/mm] / 2) = 1 und cos (2 [mm]\pi[/mm] k)
> =1 für alle k [mm]\in \IZ.[/mm]
> Sei nun eine funktion f: [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm]
> wie folgt definiert:
>
> f (x)= sin (1/x), falls x [mm]\not=[/mm] 0
> = 0 , falls x = 0,
>
> (a) was ist f' (x), wenn x [mm]\not=[/mm] 0
> (b) ist f stetig in 0?
> (c) ist f differenzierbar in 0 ?
> (d) für welche n [mm]\in \IN[/mm] ist die funktion g(x) = [mm]x^{n}[/mm]
> f(x) differenzierbar in 0?
> hallo an alle!
>
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> also ich verstehe die aufgabe nicht um sie lösen zu können,
> das mit cos und sin bringt mich durcheinander... was sagt
> mir dieser teil? was bedeutet das?
Hallo,
Ihr hattet die Funktionen sin und cos in der Vorlesung ja noch gar nicht, und die zu betrachtende abschnittweise def. Funktion f ist aber über die Sinunsfunktion definiert.
Deshalb werden Euch in dem Abschnitt, der Dich durcheinaderbringt, Informationen über sin und cos mitgeteilt, die Du längst aus der Schule kennst:
>|sin [mm](x)|\le[/mm] 1 und |cos (x)| [mm]\le[/mm] 1
Wenn Du je die beiden Funktionen gesehen hast, weißt Du doch, daß sie zwischen 0 und 1 oszillieren, ihre Beträge also nie größer als 1 sind.
> sin' = cos
> cos '= -sin
Die Ableitung der Sinusfunktion ist die Cosinusfunktion, und die Ableitung der Cosinusfunktion ist das negative der Sinusfunktion.
Auch dies solltest Du aus der Schule wissen, wenn nicht, kannst Du es Dir klarmachen, wenn Du zu der Sinusfunktion die Steigungen ermittelst und ins Koordinatensystem zeichnest.
> sin (2 $ [mm] \pi [/mm] $ k + $ [mm] \pi [/mm] $ / 2) = 1
Es ist [mm] ...sin(\bruch{-7\pi}{2})=sin(\bruch{-3\pi}{2})=sin(\bruch{\pi}{2})=sin(\bruch{5\pi}{2})=sin(\bruch{9\pi}{2})...=1,
[/mm]
was Du bereits aus Kl.10 weißt.
> cos (2 [mm]\pi[/mm] k) =1
An den geraden Vielfachen von [mm] \pi [/mm] nimmt der Cosinus den Wert 1 an, ebenfalls wohlbekannt aus Kl. 10.
Du siehst, in diesen Mitteilungen ist nichts Geheimnisvolles enthalten.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:26 So 09.12.2007 | | Autor: | howtoadd |
danke, ich werd jetzt erst mal versuchen mit den informationen etwas zu anfangen...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 So 09.12.2007 | | Autor: | howtoadd |
also, ich habe da doch noch eine frage zu dem letzten teil der aufgabe:
Für welche n [mm] \in \IN [/mm] ist die Funktion g(x)...
wie kann ich am besten diese aufgabe lösen?
den andren aufgabenteil habe ich, und weiß dass c) nicht differenzierbar ist... brauche ich das bei der d) ?
ich weiß nicht so genau, wie ich mit der letzten aufgabe anfangen soll....
muss ich da was einsetzen?
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> Für welche n [mm]\in \IN[/mm] ist die Funktion g(x)...
>
> wie kann ich am besten diese aufgabe lösen?
> den andren aufgabenteil habe ich, und weiß dass c) nicht
> differenzierbar ist... brauche ich das bei der d) ?
>
> ich weiß nicht so genau, wie ich mit der letzten aufgabe
> anfangen soll....
>
> muss ich da was einsetzen?
Die letzte Aufgabe kannst Du so lesen:
Für jedes [mm] n\in \IN [/mm] sei eine Funktion
[mm] g_n:\IR \to \IR [/mm] definiert durch
[mm] g(x):=\begin{cases} x^n sin(\bruch{1}{x}), & \mbox{für } x\not=0 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x=0 \mbox{ } \end{cases}.
[/mm]
Für welche n ist diese Funktion im Punkt [mm] x_0=0 [/mm] differenzierbar.
Du kannst das ja erstmal für n=1 und n=2 untersuchen.
Gruß v. Angela
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