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| Aufgabe | | Sei f : [mm] \IR \to \IR, f(x)=sin^{2} x+cos^{2}x. [/mm] Zeigen Sie, dass f differenzierbar ist und berechnen sie f'(x). |
Es fällt mir leicht f'(x) zu berechnen:
[mm] sin^{2}x= [/mm] sin(x)*sin(x)
[mm] cos^{2}x= [/mm] cos(x)*cos(x)
f(x)= sin(x)*sin(x)+cos(x)*cos(x)
nach Produktregel gilt:
f'(x)=2cos(x)sin(x)-2sin(x)cos(x)
f'(x)=0
Wie aber zeige ich das f(x) differenzierbar ist?
Mache ich dies indem ich beweise, dass der Grenzwert existiert, in der Form:
f'(x) := [mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h} [/mm] ?
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Hallo TUDarmstadt,
> Sei f : [mm]\IR \to \IR, f(x)=sin^{2} x+cos^{2}x.[/mm] Zeigen Sie,
> dass f differenzierbar ist und berechnen sie f'(x).
> Es fällt mir leicht f'(x) zu berechnen:
>
> [mm]sin^{2}x=[/mm] sin(x)*sin(x)
> [mm]cos^{2}x=[/mm] cos(x)*cos(x)
>
> f(x)= sin(x)*sin(x)+cos(x)*cos(x)
> nach Produktregel gilt:
> f'(x)=2cos(x)sin(x)-2sin(x)cos(x)
> f'(x)=0
Hmm, das scheint mir doch sehr mit Kanonen auf Spatzen geschossen zu sein.
Darfst du denn den trigonometr. Pythagoras nicht benutzen?
Es ist doch [mm] $f(x)=\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$ [/mm] für alle [mm] $x\in \IR$
[/mm]
>
> Wie aber zeige ich das f(x) differenzierbar ist?
> Mache ich dies indem ich beweise, dass der Grenzwert
> existiert, in der Form:
> f'(x) := [mm]\limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}[/mm] ?
Auch hier hilft der trig. Pythag.
Denn damit: [mm] $\limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{0}{h}=\lim\limits_{h\to 0}0=0=:f'(x_0)$
[/mm]
Falls du das nicht benutzen darfst, hilft die Reihendarstellung von Sinus und Cosinus, ist aber etwas Rechenaufwand ...
Oder benutze bekannte Sätze.
Sinus, Cosinus sind bekanntermaßen diffbar, damit auch die Produkte [mm] $\sin^2$ [/mm] und [mm] $\cos^2$, [/mm] also auch deren Summe ...
LG
schachuzipus
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Okay, aber lautet es mit dem trig. Pythag. nicht vielmehr:
[mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{(1+h)-(1)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{h}{h}
[/mm]
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Hallo nochmal,
> Okay, aber lautet es mit dem trig. Pythag. nicht vielmehr:
>
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{(1+h)-(1)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{h}{h}[/mm]
Nein, es ist doch [mm] $f(x_0+h)=\sin^2(x_0+h)+\cos^2(x_0+h)=1$
[/mm]
Nenne doch [mm] $x_0+h=:w$, [/mm] dann ist es offensichtlich ...
LG
schachuzipus
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Stimmt, jetzt ist es mir offensichtlich, vielen Dank!
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