Differenzierbarkeit zeigen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie:
Die Funktion [mm] f(x)=\begin{cases} -3x, & \mbox{für } x>0 \\ 2x, & \mbox{für } x\le0 \end{cases} [/mm] ist in [mm] x_{0} [/mm] nicht differenzierbar. |
Hallo miteinander,
also grafisch kann man ja leicht erkennen, dass die Funktion eine ,,Spitze'' hat und somit nicht differenzierbar ist.
Aber wie kann ich das rechnerisch nachweisen?
Liebe Grüße!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:10 Mi 27.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
berechne einfach den GW der Ableitungen links und recht.
oder, da es Geraden sind kannst du direkt die 2 Steigungen bei 0 nehmen.
Gruss leduart
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Hallo,
vielen Dank für deine Antwort!
D.h. kann ich dann sagen, der linksseitige Grenzwert ist 2 und der rechtsseitige -3 und da diese nicht gleich sind, habe ich gezeigt, dass f an dieser Stelle nicht differenzierbar ist?
Würde ich das dann so aufschreiben?
[mm] \limes_{x\rightarrow\0}f(x)=2
[/mm]
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Hallo,
> D.h. kann ich dann sagen, der linksseitige Grenzwert ist 2
> und der rechtsseitige -3 und da diese nicht gleich sind,
> habe ich gezeigt, dass f an dieser Stelle nicht
> differenzierbar ist?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Würde ich das dann so aufschreiben?
>
>
>
Nein. Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten, wie man einseitige Grenzwerte notiert. In einer Zeile könntest du bspw. so argumentieren:
[mm] \lim_{x\rightarrow{0^+}}f'(x)=-3\ne{2}=\lim_{x\rightarrow{0^-}}f'(x) [/mm]
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:04 Mi 27.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> > D.h. kann ich dann sagen, der linksseitige Grenzwert ist 2
> > und der rechtsseitige -3 und da diese nicht gleich
> sind,
> > habe ich gezeigt, dass f an dieser Stelle nicht
> > differenzierbar ist?
>
> Ja.
>
> > Würde ich das dann so aufschreiben?
> >
> >
> >
>
> Nein. Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten, wie man
> einseitige Grenzwerte notiert. In einer Zeile könntest du
> bspw. so argumentieren:
>
> [mm]\lim_{x\rightarrow{0^-}}f(x)=-3\ne{2}=\lim_{x\rightarrow{0^+}}f(x)[/mm]
Hallo Diophant,
obiges stimmt aber nun gar nicht.
Gruß FRED
>
>
> Gruß, Diophant
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:13 Mi 27.11.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo FRED,
Rinks und Lechts, soll man nicht verwechseln...
Ich habs mal korrigiert. Ist es jetzt besser? 
Vielen Dank für deinen Hinweis!
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:23 Mi 27.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo FRED,
>
> Rinks und Lechts, soll man nicht verwechseln...
>
> Ich habs mal korrigiert. Ist es jetzt besser?
Leider nein.
Bei obigem f ist
$ [mm] \lim_{x\rightarrow{0^+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow{0^-}}f(x) [/mm] $
aber
$ [mm] \limes_{x \rightarrow 0+0}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0} \ne \limes_{x \rightarrow 0-0}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0} [/mm] $
Gruß FRED
>
> Vielen Dank für deinen Hinweis!
>
> Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:02 Do 28.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> > D.h. kann ich dann sagen, der linksseitige Grenzwert ist 2
> > und der rechtsseitige -3 und da diese nicht gleich
> sind,
> > habe ich gezeigt, dass f an dieser Stelle nicht
> > differenzierbar ist?
>
> Ja.
>
> > Würde ich das dann so aufschreiben?
> >
> >
> >
>
> Nein. Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten, wie man
> einseitige Grenzwerte notiert. In einer Zeile könntest du
> bspw. so argumentieren:
>
Hallo Diophant,
> [mm]\lim_{x\rightarrow{0^+}}f'(x)=-3\ne{2}=\lim_{x\rightarrow{0^-}}f'(x)[/mm]
Jetzt stimmts ! Um aber daraus zu folgern, dass f in x=0 nicht differenzierbar ist, benötigt man noch einen Satz von Darboux:
Für eine auf dem Intervall [a,b] [mm] \subseteq \IR [/mm] ( a < b ) gegebene differenzierbare Funktion f: [a,b] [mm] \to \IR [/mm] , welche $ f'(a) [mm] \neq [/mm] f'(b)$ erfüllt, nimmt die Ableitung f' jeden Wert zwischen f'(a) und f'(b) im offenen Intervall (a,b) an.
Gruß FRED
>
>
> Gruß, Diophant
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:06 Mi 27.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie:
>
> Die Funktion [mm]f(x)=\begin{cases} -3x, & \mbox{für } x>0 \\ 2x, & \mbox{für } x\le0 \end{cases}[/mm]
> ist in [mm]x_{0}[/mm] nicht differenzierbar.
> Hallo miteinander,
>
> also grafisch kann man ja leicht erkennen, dass die
> Funktion eine ,,Spitze'' hat und somit nicht
> differenzierbar ist.
> Aber wie kann ich das rechnerisch nachweisen?
>
> Liebe Grüße!
Ich nehme mal an, dass [mm] x_0=0 [/mm] ist
Zeige :
[mm] \limes_{x \rightarrow 0+0}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0} \ne \limes_{x \rightarrow 0-0}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}
[/mm]
FRED
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