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Differenzieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:15 So 06.04.2008
Autor: Tigerlilli

Aufgabe
Es seien I, J Intervalle, f: I [mm] \to \IR [/mm] stetig, g: J [mm] \to \IR [/mm] stetig differenzierbar mit [mm] g(J)\subset [/mm] I. Zeigen Sie, dass

F(x):= [mm] \integral_{a}^{g(x)}f(t)dt, [/mm] (a [mm] \in [/mm] I fest),

in J differenzierbar ist und dass F'(x)=f(g(x))g'(x), x [mm] \in [/mm] J.


Das hier sieht wieder so verdammt schwierig aus.Ob das auch jemand lösen kann,der nicht gerade ne Granate in Integralrechnung ist? Ersteinmal zum ersten Teil...ich versuche das was ich weiß mal niederzuschreiben:

um die Differenzierbarkeit einer Funktion in einem punkt zu berechnen geht man normalerweise ja wie folgt vor:

Differenzierbarkeit von f bzgl. J wenn:

[mm] f'(J)=\limes_{x\rightarrow J}\bruch{f(x)-f(J)}{x-J} [/mm]

So ähnlich muss ich das sicherlich auch hier wieder machen,nur ich weiß einfach nicht wie ich hier richtig vorgehen soll. Lg

        
Bezug
Differenzieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:27 So 06.04.2008
Autor: MathePower

Hallo Tigerlilli,

> Es seien I, J Intervalle, f: I [mm]\to \IR[/mm] stetig, g: J [mm]\to \IR[/mm]
> stetig differenzierbar mit [mm]g(J)\subset[/mm] I. Zeigen Sie, dass
>
> F(x):= [mm]\integral_{a}^{g(x)}f(t)dt,[/mm] (a [mm]\in[/mm] I fest),
>  
> in J differenzierbar ist und dass F'(x)=f(g(x))g'(x), x [mm]\in[/mm]
> J.
>  
>
> Das hier sieht wieder so verdammt schwierig aus.Ob das auch
> jemand lösen kann,der nicht gerade ne Granate in
> Integralrechnung ist? Ersteinmal zum ersten Teil...ich
> versuche das was ich weiß mal niederzuschreiben:
>  
> um die Differenzierbarkeit einer Funktion in einem punkt zu
> berechnen geht man normalerweise ja wie folgt vor:
>  
> Differenzierbarkeit von f bzgl. J wenn:
>  
> [mm]f'(J)=\limes_{x\rightarrow J}\bruch{f(x)-f(J)}{x-J}[/mm]
>  
> So ähnlich muss ich das sicherlich auch hier wieder
> machen,nur ich weiß einfach nicht wie ich hier richtig
> vorgehen soll. Lg

Ausgeschrieben ergibt das:

[mm]F(x):= \integral_{a}^{g(x)}f(t)dt=F\left(g\left(x\right)\right)-F\left(a\right)[/mm]

Damit kannst Du den Differenzenquotienten bilden.

Gruß
MathePower

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Differenzieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:55 So 06.04.2008
Autor: Tigerlilli

Ich stell mich manchmal wirklich blöd an und weiß nicht wie ich immer genau vorgehen muss,ich versuchs wieder:

[mm] D(a)=\bruch{g(x)-f(a)}{g(x)-a} [/mm] bzw. [mm] \bruch{f(g(x)+a)-f(g(x))}{a} [/mm] ???

lieben Gruß

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Bezug
Differenzieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:10 So 06.04.2008
Autor: MathePower

Hallo Tigerlilli,

> Ich stell mich manchmal wirklich blöd an und weiß nicht wie
> ich immer genau vorgehen muss,ich versuchs wieder:
>  
> [mm]D(a)=\bruch{g(x)-f(a)}{g(x)-a}[/mm] bzw.
> [mm]\bruch{f(g(x)+a)-f(g(x))}{a}[/mm] ???

Es ist der Differenzenquotient

[mm]\bruch{F\left(g\left(x+h\right)\right)-F\left(g\left(x\right)\right)}{\left(x+h\right)-x}[/mm]

zu berechnen.

Und dann ist der Grenzübergang für [mm]h \rightarrow 0[/mm] zu vollziehen.

[mm]\left(F\left(g\left(x\right)\right)\right)'=\limes_{h\rightarrow 0}{\bruch{F\left(g\left(x+h\right)\right)-F\left(g\left(x\right)\right)}{\left(x+h\right)-x}}[/mm]

>  
> lieben Gruß

Gruß
MathePower

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Differenzieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:50 So 06.04.2008
Autor: Tigerlilli

wenn h nun gegen 0 geht dann muss es doch nun so heißen,oder?:

(F(g(x)))' [mm] =\limes_{h \to 0}\bruch{F(g(x+0))-F(g(x))}{(x+0)-x} [/mm]

(F(g(x)))' [mm] =\limes_{h \to 0}\bruch{F(g(x))-F(g(x))}{x-x} [/mm]

hebt sich also alles auf,ist das korrekt so? Lg


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Bezug
Differenzieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:09 So 06.04.2008
Autor: MathePower

Hallo Tigerlilli,

> wenn h nun gegen 0 geht dann muss es doch nun so
> heißen,oder?:
>  
> (F(g(x)))' [mm]=\limes_{h \to 0}\bruch{F(g(x+0))-F(g(x))}{(x+0)-x}[/mm]
>  
> (F(g(x)))' [mm]=\limes_{h \to 0}\bruch{F(g(x))-F(g(x))}{x-x}[/mm]
>  
> hebt sich also alles auf,ist das korrekt so? Lg
>  

Leider nicht.

Berechne erstmal den Differenzenquotienten

Der Differenzenquotient so definiert:

[mm]\bruch{F\left(x+h\right)-F\left(x\right)}{\left(x+h\right)-x} \ \left(1\right)[/mm]

Nun hast Du aber stehen:

[mm]\bruch{F\left(g\left(x+h\right)\right)-F\left(g\left(x\right)\right)}{\left(x+h\right)-x} \ \left(2\right) [/mm]

Das heisst irgendwie musst Du auf die obige Form (1) gebracht werden.

Der Differenzenquotient muß sich dann so schreiben lassen:

[mm]{\bruch{F\left(g\left(x+h\right)\right)-F\left(g\left(x\right)\right)}{\dots - \dots}}*{\bruch{ \dots - \dots }{\left(x+h\right)-x}}[/mm]

Gruß
MathePower

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Differenzieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:21 So 06.04.2008
Autor: Tigerlilli

$ [mm] {\bruch{F\left(g\left(x+h\right)\right)-F\left(g\left(x\right)\right)}{(x+h)-x}}\cdot{}{\bruch{ F(x+h)-F(x)}{\left(x+h\right)-x}} [/mm] $  und dieses dann ausmultiplizieren? Lg

Bezug
                                                        
Bezug
Differenzieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:39 So 06.04.2008
Autor: MathePower

Hallo Tigerlilli,

>
> [mm]{\bruch{F\left(g\left(x+h\right)\right)-F\left(g\left(x\right)\right)}{(x+h)-x}}\cdot{}{\bruch{ F(x+h)-F(x)}{\left(x+h\right)-x}}[/mm]
>  und dieses dann ausmultiplizieren? Lg

Betrachte das Argument von F im ersten Bruch.
Was muss dann im Nenner stehen?

Gruß
MathePower


Bezug
                                                                
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Differenzieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:01 So 06.04.2008
Autor: Tigerlilli

mhh...ich muss zu dir ehrlich sein und sagen,dass ich grad nicht wirklich weiß wie es weiter gehen muss. Ich kanns bisher leider noch nicht nachvollziehen,tut mir leid :'-( lieben Gruß

Bezug
                                                                        
Bezug
Differenzieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:16 So 06.04.2008
Autor: MathePower

Hallo Tigerlilli,

> mhh...ich muss zu dir ehrlich sein und sagen,dass ich grad
> nicht wirklich weiß wie es weiter gehen muss. Ich kanns
> bisher leider noch nicht nachvollziehen,tut mir leid :'-(

Das Argument von [mm]F\left(g\left(x\right)\right)[/mm] ist [mm]\blue{g\left(x\right)}[/mm]

Daher lautet  der Diffrierenzenquotient

[mm]\bruch{F\left(g\left(x+h\right)\right)-F\left(g\left(x\right)\right)}{ \blue{g\left(x+h\right)-g \left(x\right)} } * \bruch{\blue{g\left(x+h\right)-g\left(x\right)}}{ \left(x+h\right)-x} }[/mm]

> lieben Gruß

Gruß
MathePower


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Bezug
Differenzieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:26 So 06.04.2008
Autor: Tigerlilli

und was genau sagt mir das nun bzw. wie muss man nun weiter vorangehen? Lg

Bezug
                                                                                        
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Differenzieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:35 So 06.04.2008
Autor: MathePower

Hallo Tigerlilli,

> und was genau sagt mir das nun bzw. wie muss man nun weiter
> vorangehen? Lg

Bilde den Grenzwert für h gegen 0.

Gruß
MathePower

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Bezug
Differenzieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:26 Di 08.04.2008
Autor: Not_Helpless

Den Grenzwert für h gegen 0 bilden..mhh,so evtll:?

[mm] \bruch{F(g(x+0))-F(g(x))}{g(x+0)-g(x)}*\bruch{g(x+0)-g(x)}{(x+0)-x}=\bruch{F(g(x))-F(g(x))}{g(x)-g(x)}*\bruch{g(x)-g(x)}{x-x} [/mm] ???

liebe Grüße

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Differenzieren: separat betrachten
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:19 Mi 09.04.2008
Autor: Loddar

Hallo Not_helpless!


> Den Grenzwert für h gegen 0 bilden..mhh,so evtll:?
>  
> [mm]\bruch{F(g(x+0))-F(g(x))}{g(x+0)-g(x)}*\bruch{g(x+0)-g(x)}{(x+0)-x}=\bruch{F(g(x))-F(g(x))}{g(x)-g(x)}*\bruch{g(x)-g(x)}{x-x}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

  ???

[notok] Damit hättest Du doch zweimal den unbestimmten Ausdruck $\bruch{0}{0}$ dastehen.


Mathepower hatte es ja soweit vorgemacht:
$$ \bruch{F\left(g\left(x+h\right)\right)-F\left(g\left(x\right)\right)}{ \blue{g\left(x+h\right)-g \left(x\right)} } \cdot{} \bruch{\blue{g\left(x+h\right)-g\left(x\right)}}{ \left(x+h\right)-x} } $$
Betrachte nun mal die beiden Brüche $\bruch{F\left(g\left(x+h\right)\right)-F\left(g\left(x\right)\right)}{ g\left(x+h\right)-g \left(x\right)}$ und $\bruch{g\left(x+h\right)-g\left(x\right)}{h}$ separat. Das sollte Dich doch jeweils an bekannte Terme erinnern (gerade in Hinsicht auf das gewünschte Ergebnis ;-) ).


Gruß
Loddar


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