Differenzieren als lineare Abb < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:13 Di 05.02.2008 | | Autor: | silencio |
| Aufgabe | | Sei [mm] C^0 [/mm] der Raum der stetigen Funktionen, [mm] C^1 [/mm] der Raume der einmal stetig differenzierbaren Funktionen. Zeigen Sie, dass die Abbildung [mm] D:C^1 \to C^0, [/mm] f [mm] \mapsto [/mm] f' linear ist. |
nun weiß ich, dass ich für eine lineare abbildung zeigen muss, dass sie homogen, also af(x)=f(ax), und additiv, also f(x)+f(y)=f(x+y), ist.
soweit so gut und das kann ich normal auch, aber in diesem fall, bei dieser art von abbildung weiß ich gar nicht, wie ich da anfangen soll und wie ich die bedingungen bweisen soll.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:21 Di 05.02.2008 | | Autor: | bazzzty |
> Sei [mm]C^0[/mm] der Raum der stetigen Funktionen, [mm]C^1[/mm] der Raume der
> einmal stetig differenzierbaren Funktionen. Zeigen Sie,
> dass die Abbildung [mm]D:C^1 \to C^0,[/mm] f [mm]\mapsto[/mm] f'
> linear ist.
> nun weiß ich, dass ich für eine lineare abbildung zeigen
> muss, dass sie homogen, also af(x)=f(ax), und additiv, also
> f(x)+f(y)=f(x+y), ist.
> soweit so gut und das kann ich normal auch, aber in diesem
> fall, bei dieser art von abbildung weiß ich gar nicht, wie
> ich da anfangen soll und wie ich die bedingungen bweisen
> soll.
Versuche mal, Deine Bedingungen
[mm]af(x)=f(ax)[/mm] und [mm]f(x)+f(y)=f(x+y)[/mm] zu "übersetzen". Das "f" enspricht doch dem "D" oben, "x" und "y" entsprechen Elementen aus dem Urbildraum (sind also st. db. Funktionen "f" und "g". "a" bleibt ein Skalar.
Zu zeigen ist also: ...versuchs erstmal selbst..
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Di 05.02.2008 | | Autor: | silencio |
es ist D(f)=f' und D(g)=g'; [mm] f,g\in C^1 [/mm] und [mm] a\in\IR.
[/mm]
also muss ich nun zeigen aD(f)=af'=D(af) und D(f)+D(g)=f'+g'=D(f+g).
Das war/ist mir schon klar, aber ich weiß nicht wie ic das jetzt zeigen und argumentieren soll
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Hallo silencio,
na, welche Ableitungsregeln kennst du denn?
Was ist denn [mm] $\left[f(x)+g(x)\right]$' [/mm] ?
Und was ist [mm] $\left[k\cdot{}f(x)\right]$' [/mm] ?
Die zu beweisende Aussage folgt doch direkt aus diesen Ableitungsregeln.
Die habt ihr doch sicher in ANA beweisen?
Ansonsten solltest du das noch tun 
(Ist aber auch kein Akt mit dem Differenzenquotienten...)
LG
schachuzipus
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