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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:10 Mi 12.03.2008 | | Autor: | chege22 |
Hallo erstmal. Muss verschiedene Funktionen ableiten. Bei manchen weiss ich nicht weiter, bei machen bin ich mir nicht sicher ob sie richtig sind. Wäre über Hilfe dankbar...
(i) g(x)=cos(4x)
g´x=-4sin(4x)
(ii) [mm] k(x)=x^7 [/mm] cos(4x) ; jetzt habe ich die Produktregel benutzt und
k´(x)= [mm] 7x^6 [/mm] * cos(4x) + [mm] x^7 [/mm] *(-4sin(4x)erhalten. Müsste eigentlich richtig sein, aber wie gehts jetzt weiter?
(iii) k(t)= e^3t / [mm] 4-t^2
[/mm]
k´(t)= 3e^3t [mm] *(4-t^2)- [/mm] e^3t *(-2t) / ( [mm] 4-t^2)^2 [/mm] , und jetzt??
(iv) f(x)= sin (6x)
f´(x)= 6 cos (6x)
(v) k(x)= ln ( 3 sin (6x)) (0<x<1/6pie) Hier komme ich gar nicht weiter...
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Hallo!
> Hallo erstmal. Muss verschiedene Funktionen ableiten. Bei
> manchen weiss ich nicht weiter, bei machen bin ich mir
> nicht sicher ob sie richtig sind. Wäre über Hilfe
> dankbar...
>
> (i) g(x)=cos(4x)
> g´x=-4sin(4x)
Korrekt!
>
> (ii) [mm]k(x)=x^7[/mm] cos(4x) ; jetzt habe ich die Produktregel
> benutzt und
>
> k´(x)= [mm]7x^6[/mm] * cos(4x) + [mm]x^7[/mm] *(-4sin(4x)erhalten. Müsste
> eigentlich richtig sein, aber wie gehts jetzt
> weiter?
Das ist auch korrekt. Allerdings sehe ich nicht, daß man da großartig was vereinfachen könnte. Du könntest [mm] x^6 [/mm] ausklammern, mehr aber nicht.
>
> (iii) k(t)= e^3t / [mm]4-t^2[/mm]
> k´(t)= 3e^3t [mm]*(4-t^2)-[/mm] e^3t *(-2t) / ( [mm]4-t^2)^2[/mm] ,
> und jetzt??
Erstmal etwas leserlicher:
[mm] $k(t)=\frac{e^{3t} }{4-t^2}$
[/mm]
[mm] $k'(t)=\frac{3e^{3t} *(4-t^2)- e^{3t} *(-2t) }{(4-t^2)^2}$
[/mm]
Hier könntest du zunächst den e-Term ausklammern. Wenn du den Zähler dann noch ein wenig ordnest, könntest du versuchen, ihn in Linearfaktoren zu zerlegen, und zu schaun, ob sich dann was mit dem Nenner kürzt. Mir scheint das hier aber nicht der Fall zu sein.
Allerdings, wenn du noch höhere Ableitungen berechnen mußt, ist die Version mit dem ausgeklammerten e schon das beste, eine Faktorisierung des Zählers macht das weitere Ableiten nur noch komplizierter.
>
> (iv) f(x)= sin (6x)
> f´(x)= 6 cos (6x)
Korrekt!
>
> (v) k(x)= ln ( 3 sin (6x)) (0<x<1/6pie) Hier komme
> ich gar nicht weiter...
Nun, hier mußt du die Kettenregel anwenden. Innere mal äußere:
$k(x)= [mm] \ln [/mm] ( 3 [mm] \sin [/mm] (6x))$
$k'(x)= [3 [mm] \sin (6x)]'*\ln'( [/mm] 3 [mm] \sin [/mm] (6x))$
Du mußt den Term in den eckigen Klammern noch ableiten. Und du mußt rausfinden, wie die Ableitung vom ln ist, und da dann das, was ursprünglich in den Klammern des ln stand, einsetzen.
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