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Digitale Regelungstechnik: Verständnisfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:39 Di 27.09.2022
Autor: jasmin89

Wieso braucht man in der digitalen Reglungstechnik eineZ-Transformation?

Also da habe ich ja einen AD-Wandler der mir die analoge Regeldifferenz in eine zeitdiskrete Wertefolge ausgibt.
Diese Wertefolge wird Differenzengleichung bezeichnet. Damit arbeitet der Regler selbst und berechnet daraus
Stellgröße die auch als Differenzengleichung vorliegt. In der Literatur Regelungstechnik wird aber dann diese
Differenzengleichung Z-Transformiert.

Verstehe nicht genau warum man das macht. Macht man das da man nur die Z-Transformierte Differenzengleichung
als Übertragungsfunktion (Ausgang/Eingang) darstellen kann? So ähnlich die die Laplace Transformation von
einer Differentialgleichung im Zeitbereich?

        
Bezug
Digitale Regelungstechnik: Bildbereich
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:51 Mi 28.09.2022
Autor: Infinit

Hallo Jasmin89,
den Grund hast Du schon richtig genannt. Um nicht mit einer Folge quantisierter Abtastwerte rechnen zu müssen, setzt man gerne die z-Transformation ein. Differenzengleichungen lassen sich so einfacher lösen und das Ergebnis kann man später wieder rücktransformieren. Außerdem kann man auf diese Art eine Übertragungsfunktion bestimmen in Analogie zur Übertragungsfunktion im Fourier- oder Laplace-Bereich.

Die z-Transformation selbst lässt sich aus der Laplace-Transformierten herleiten, nur arbeitet man hierbei mit Abtastwerten zu einem bestimmten Zeitpunkt (Vielfachen der Abtastdauer) und nicht mit einem kontinuierlichen Zeitparameter t.
Viele Grüße,
Infinit

Bezug
        
Bezug
Digitale Regelungstechnik: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:37 Do 29.09.2022
Autor: jasmin89

Super danke für die Antwort.

Ich habe noch eine letzte Frage: Ist es möglich eine z-Transformierte Funktion zu plotten? Denn wenn ich z.b eine Regelstrecke in den z-Bereich transformiert habe (mit zero-order-hold) muss ich diese wieder mit der Inversen z-Transformation auf eine diskrete Wertefolge transformieren damit ich diese plotten kann. Ich bin mir aber nicht sicher ob es möglich ist die z-Transformierte Funktion direkt zu plotten?

Bezug
                
Bezug
Digitale Regelungstechnik: z-Transformierte
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:47 Sa 01.10.2022
Autor: Infinit

Hallo jasmin89,
prinzipiell kannst Du die z-Transformierte plotten, aber dabei muss man berücksichtigen, dass der Parameter z ja eine komplexe Variable ist mit Real- und Imaginärteil bzw. Amplitude und Phase. Auf diese Art und Weise kannst Du für jeden Wert von z die Transformierte bestimmen. Mir ist aber nicht bekannt, dass dies gemacht wird, da Du ja an der Größe im Zeitbereich interessiert bist und insofern die Rücktransformierte brauchst.
Was ich aus der Regelungstechnik kenne, ist, dass die Übertragungsfunktion im z-Bereich eine gebrochen-rationale Funktion ist und demzufolge besitzt diese Funktion Nullstellen und Polstellen. Solche Plots findet man mitunter, und sie werden genommen, um die Stabilität eines Regelkreises zu überprüfen. Der ist dann stabil, wenn alle Pole innerhalb des z-Einheitskreises liegen, grenzstabil, wenn wenigstens ein Pol genau auf dem Einheitskreis liegt. Die ist das Pendant zur Stabilitätsbetrachtung für analoge Signale. Dort hat man die Laplace-Transformierte s, auch mit Real- und Imaginärteil, und ein Regelsystem ist dann stabil, wenn die Pole in der linken s-Halbebene liegen.
Die linke s-Halbebene wird durch die Transformation
[mm] z = e^{sT_A} [/mm] gerade auf das Innere des Einheitskreises abgebildet. [mm] T_A [/mm] ist dabei die Abtastdauer.
Das sind die Zusammenhänge, aber wie gesagt, von den Werten im z-Bereich hast Du als Mensch nicht sehr viel, sie erleichtern aber das Rechnen.
Viele Grüße,
Infinit

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