Dim.-Formel Orthogonalraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:45 Sa 02.10.2010 | | Autor: | Lina0810 |
Ich habe folgenden Satz über die Dimensionsformel für Orthogonalräume in meinem Skript stehen:
V endl.-dim. Vektorraum, b nicht-entartete Bilinearform auf V, U Untervektorraum von V. Dann gilt: dim U + dim U (orthogonal) = dim V
Leider ist bei mir nur eine vage Beweisskizze angegeben. ich bin ratlos, habe schon im Internet recherschiert, aber ich finde nur den Satz, keinen Beweis.
Könnt ihr mir da weiterhelfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
danke schonmal!
PS: Das mit den Eingabehilfen kriege ich irgendwie nicht gebacken.. sorry dafür.
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> Ich habe folgenden Satz über die Dimensionsformel für
> Orthogonalräume in meinem Skript stehen:
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> V endl.-dim. Vektorraum, b nicht-entartete Bilinearform auf
> V, U Untervektorraum von V. Dann gilt: dim U + dim U
> (orthogonal) = dim V
>
> Leider ist bei mir nur eine vage Beweisskizze angegeben.
> ich bin ratlos, habe schon im Internet recherschiert, aber
> ich finde nur den Satz, keinen Beweis.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Da steht bestimmt auch, daß b symmetrisch ist, oder?
Gerne hätten wir als Lösungsansatz von Dir eigene Beweisideen gesehen.
Irgendwas wirst Du doch überlegt haben...
Es sei DimV=n, dimU=k.
U hat eine Basis [mm] (b_1,...,b_k), [/mm] man kann sie zu einer Basis [mm] (b_1,...,b_n) [/mm] von V ergänzen.
Für alle [mm] x=\summe x_ib_i \in U^{\perp} [/mm] gilt: [mm] b(x,b_i)=0 [/mm] , i=1,..,k.
Das liefert ein homogenes LGS vom Rang k, der Kern hat dann die Dimension n-k.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:29 So 03.10.2010 | | Autor: | Lina0810 |
Erst einmal vielen Dank für die Hilfe!
Das mit der Basis von U, ergänzen zu V, soweit bin ich auch gekommen, aber da stand ich auf dem Schlauch.
Und jetzt tu ich es schon wieder.
"Das liefert ein homogenes LGS vom Rang k, der Kern hat dann die Dimension n-k."
Wie genau ist das gemeint?
Edit:
Klar, dass folgendes gilt:
dim V = dim Kern + rang --> dim Kern = n - k
Aber wieso kann man sich so eine matrix einfach basteln?
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> "Das liefert ein homogenes LGS vom Rang k, der Kern hat
> dann die Dimension n-k."
> Wie genau ist das gemeint?
Hallo,
eigentlich genauso, wie es dasteht...
Was genau ist Dir unklar und weshalb?
Daß es ein LGS ist,
daß dieses homogen ist,
daß es den Rang k hat,
daß man den Kern braucht,
daß dieser die Dimension n-k hat?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:55 So 03.10.2010 | | Autor: | Lina0810 |
Klar, dass folgendes gilt:
dim V = dim Kern + rang --> dim Kern = n - k
Wieso ist es ein LGS?
Wieso kann man sich das einfach so basteln?
Und wieso ist mit der Aussage über den Kern die Behauptung gezeigt?
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> Wieso ist es ein LGS?
> Wieso kann man sich das einfach so basteln?
Hallo,
ich schrieb doch: "Für alle [mm] x=\summe x_ib_i \in U^{\perp} [/mm] gilt: [mm] b(x,b_i)=0 [/mm] , i=1,..,k".
Ist Dir dies soweit noch klar?
Was ist denn nun [mm] b(x,b_i)?
[/mm]
Du hast doch bzgl. der Basis [mm] (b_1,...,b_n) [/mm] eine Matrix, die die Bilinearform bzgl dieser Matrix repräsentiert.
Überleg Dir nun, warum für jedes i die Gleichung [mm] b(x,b_i)=0 [/mm] ,i=1,..,k eine lineare ist.
> Und wieso ist mit der Aussage über den Kern die
> Behauptung gezeigt?
Weil wir den Lösungsraum dieses Gleichungssystems suchen.
Mach mal folgendes: Nimm den [mm] \IR^3 [/mm] und das gewohnliche Skalarprodukt.
Jetzt sein [mm] U=<\vektor{1\\2\\3}, \vektor{4\\5\\6}>.
[/mm]
Nun willst Du den Orthogonalraum [mm] U^{\perp} [/mm] bestimmen bzw. eine Basis desselbigen.
Was mußt für die [mm] x\in U^{\perp} [/mm] gelten?
Gruß v. Angela
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Hallo!
ich lese das immer und immer wieder und komm nicht klar
> Für alle [mm]x=\summe x_ib_i \in U^{\perp}[/mm] gilt: [mm]b(x,b_i)=0[/mm] ,
> i=1,..,k.
ist das wirklich so richtig?
soll nicht x als linearkombination der [mm] b_i, i\in\{1,...,k\} [/mm] dargestellt werden?
dann müsste es doch eher heißen
[mm] x=\summe a_ib_i [/mm]
oder seh ich da irgendwas falsch?
liebe grüße :)
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> Hallo!
> ich lese das immer und immer wieder und komm nicht klar
> > Für alle [mm]x=\summe x_ib_i \in U^{\perp}[/mm] gilt: [mm]b(x,b_i)=0[/mm]
> ,
> > i=1,..,k.
> ist das wirklich so richtig?
> soll nicht x als linearkombination der [mm]b_i, i\in\{1,...,k\}[/mm]
> dargestellt werden?
> dann müsste es doch eher heißen
> [mm]x=\summe a_ib_i[/mm]
> oder seh ich da irgendwas falsch?
Hallo,
ich sehe überhaupt keinen Unterschied: ich nenne die Koeffizienten [mm] x_i, [/mm] und Du nennst sie [mm] a_i. [/mm] Ja und?
Gruß v. Angela
>
> liebe grüße :)
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> > > Für alle [mm]x=\summe x_ib_i \in U^{\perp}[/mm] gilt:
> [mm]b(x,b_i)=0[/mm]
> ich sehe überhaupt keinen Unterschied: ich nenne die
> Koeffizienten [mm]x_i,[/mm] und Du nennst sie [mm]a_i.[/mm] Ja und?
nun...
da x ein vektor ist, hat er die komponenten [mm] x_1, x_2, [/mm] ..., [mm] x_n
[/mm]
bzw um es deutlicher zu machen
[mm] \vektor{x_1 \\ ... \\ x_k \\ x_{k+1} \\ ... \\ x_n} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{k}x_ib_i
[/mm]
du benutzt die variablen quasi doppelt, das is mein problem grad
> > liebe grüße :)
>
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> > > > Für alle [mm]x=\summe x_ib_i \in U^{\perp}[/mm] gilt:
> > [mm]b(x,b_i)=0[/mm]
>
> > ich sehe überhaupt keinen Unterschied: ich nenne die
> > Koeffizienten [mm]x_i,[/mm] und Du nennst sie [mm]a_i.[/mm] Ja und?
>
> nun...
> da x ein vektor ist, hat er die komponenten [mm]x_1, x_2,[/mm] ...,
> [mm]x_n[/mm]
> bzw um es deutlicher zu machen
>
> [mm]\vektor{x_1 \\
... \\
x_k \\
x_{k+1} \\
... \\
x_n}[/mm] =
> [mm]\summe_{i=1}^{k}x_ib_i[/mm]
> du benutzt die variablen quasi doppelt, das is mein
> problem grad
Hallo,
nö, ich benutze die nicht doppelt - möglicherweise hast Du den Themenkreis "Darstellung bzgl einer Basis" nicht verstanden.
Ich habe im VR V eine Basis [mm] B:=(b_1,...,b_n)und [/mm] kann jedes [mm] x\in [/mm] V in eindeutiger Weise schreiben als [mm] x=\summe x_ib_i.
[/mm]
Der Koordinatenvektor von x bzgl. dieser Basis ist dann [mm] $\vektor{x_1 \\ ... \\ x_k \\ x_{k+1} \\ ... \\ x_n}_{(B)}$. [/mm]
[mm] x=$\vektor{x_1 \\ ... \\ x_k \\ x_{k+1} \\ ... \\ x_n}$ [/mm] ist ja zunächst mal völlig sinnlos, solange nicht gesagt wird, bzgl. welcher Basis dieser Spaltenvektor sein soll!
(Beachte, daß der zugrundeliegende Vektorraum nicht unbedingt der [mm] \IR^n [/mm] mit der Standardbasis ist.)
Gruß v. Angela
>
>
> > > liebe grüße :)
> >
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:17 Mo 04.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Angela!
> > Ich habe folgenden Satz über die Dimensionsformel für
> > Orthogonalräume in meinem Skript stehen:
> >
> > V endl.-dim. Vektorraum, b nicht-entartete Bilinearform auf
> > V, U Untervektorraum von V. Dann gilt: dim U + dim U
> > (orthogonal) = dim V
> >
> > Leider ist bei mir nur eine vage Beweisskizze angegeben.
> > ich bin ratlos, habe schon im Internet recherschiert, aber
> > ich finde nur den Satz, keinen Beweis.
>
> Hallo,
>
> .
>
> Da steht bestimmt auch, daß b symmetrisch ist, oder?
Das braucht man nicht; wichtig ist nur, dass $b$ nicht-degeneriert ist.
Wenn es nicht symmetrisch ist, muss man aber aufpassen, ob man mit [mm] $U^\bot$ [/mm] das "Links-Orthogonalkomplement" [mm] $\{ x \in V \mid \forall y \in U : b(x, y) = 0 \}$ [/mm] oder das "Rechts-Orthogonalkomplement" [mm] $\{ y \in V \mid \forall x \in U : b(x, y) = 0 \}$ [/mm] meint. Die Dimensionen sind gleich, die Unterraeume im Allgemeinen aber verschieden.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:26 So 03.10.2010 | | Autor: | Lina0810 |
Hier übrigens die Beweisskizze meines Profs:
"Wähle Basis, stelle [mm] U\perp [/mm] als Lösungsmenge eines LGS her, das aus k = dim U unabhängigen Gleichungen besteht, die von Gram-Matrix + Basis von U herkommen."
Ich kann damit leider nicht viel anfangen..
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