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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Dimension
Dimension < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Dimension: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:16 So 07.01.2007
Autor: diego

Aufgabe
Seien V, W und U endlich erzeugte Vektorräume, sei dim(V) 0 m und sei dim(U) = n. Seien f: V [mm] \to [/mm] W und g: W [mm] \to [/mm] U lineare Abbildungen mit Bild(f) = Kern (g). Ferner seien f injektiv und g surjektiv. Bestimmen Sie die Dimension von W.

Hallo,

habe mir folgendes überlegt, komme aber nicht weiter und bin mir auch nicht sicher ob es stimmt.

f: V [mm] \to [/mm] W ist injektiv, also Kern(f)={0}
und es gilt dim(Bild(f)) + dim(Kern(f)) = dim(V) = m
Wenn ich jetzt richtig liege die Dimension von Kern(f) = 0, da die Menge ja Null ist. Also ist dim(Bild(f)) + 0 = m, also dim(Bild(f)) = m.
Dann würde weiter dim(Bild(f)) = m = dim(Kern(g)) = 0 sein.
Damit wäre dann dim(Bild(g)) = n.

Dann habe ich noch das Bild(g) = U, da g surjektiv ist. Weiß aber nicht wie ich das noch unterbringen soll.

Danke für eure Hilfe!

Habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.

        
Bezug
Dimension: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:24 So 07.01.2007
Autor: DaMenge

Hallo,

du hast es doch schon fast:

> Seien V, W und U endlich erzeugte Vektorräume, sei dim(V) 0

> f: V [mm]\to[/mm] W ist injektiv, also Kern(f)={0}
> und es gilt dim(Bild(f)) + dim(Kern(f)) = dim(V) = m
>  Wenn ich jetzt richtig liege die Dimension von Kern(f) =
> 0, da die Menge ja Null ist. Also ist dim(Bild(f)) + 0 = m,
> also dim(Bild(f)) = m.

bis hierhin ists ok !

>  Dann würde weiter dim(Bild(f)) = m = dim(Kern(g)) = 0
> sein.

wieso =0 ?!? der Kern von g ist das ganze Bild von f, was die Dimension m hat, also ist auch dim(Kern(g))=m

außerdem ist g surjektiv, also dim(Bild(g))=dim(U)=n
(das hattest du auch schon)

jetzt nur noch die Dimensionsformel für g anwenden:
dim(W)=dim(Kern(g))+dim(Bild(g))=m+n

also warst du wirklich gaaanz dicht dran..

viele Grüße
DaMenge

Bezug
                
Bezug
Dimension: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:39 So 07.01.2007
Autor: diego

Vielen, vielen Dank!


Bezug
                        
Bezug
Dimension: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 22:14 So 07.01.2007
Autor: diego

Aufgabe
Seien V und W endlich erzeugte Vektorräume über einem Körper K. Sei n=dim(V) < dim(W)=m, und sei f. V [mm] \to [/mm] W linear. Sei f*: W* [mm] \to [/mm] V* die zu f duale Abbildung.
Beweisen Sie, dass dim(Kern(f)) [mm] \not= [/mm] dim(Kern(f*)) ist.

Habe noch eine ähnliche Aufgabe, bei der ich aber nicht so weit komme...

Das einzige was ich wirklich habe ist, dass dim(V*) = dim(V) =n ist.
Und da der Dualraum ja ein Homomorphismus ist müsste ich doch eigentlich folgende Dimensionsformel anwenden können:
[mm] dim(Hom_{K}(V,W)) [/mm] = mn.
Aber wie??

Nochmal danke!!!

Habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt



Bezug
                                
Bezug
Dimension: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:20 Di 09.01.2007
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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