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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:36 Mo 12.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe da eine Frage zur Dimension.
Als Definition haben wir, dass die Länge einer Basis eines Vektorraums die Dimension des Vektorraums genannt wird.
Das verstehe ich, aber wir haben da einen Nachsatz, den ich nicht mehr verstehe. Und zwar steht da:
"Wenn V nicht endlich erzeugt ist, dann ist [mm] dim(V)=\infty [/mm] ."
So, die Definition von einem endlich erzeugten Vektorraum war bei uns, dass der Vektorraum ein endliches Erzeugendessystem hat.
Das heißt ja, dass wenn V nicht endlich erzeugt ist, dass dann V unendlich erzeugt ist, also ein unendliches Erzeugeugendensystem hat, oder?
Aber heißt das automatisch, dass V dann auch eine unendliche Basis hat?
Ich mein, ein Erzeugendensystem kann von der Anzahl der Vektoren ja sehr viel größer sein als eine Basis, kann es dann nicht vorkommen, dass ich ein Erzeugendensystem mit unendliche vielen Vektoren habe, den Vektorraum selber aber mit einer endlichen Zahl an Vektoren in der Basis bilden kann?
LG, Nadine
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> "Wenn V nicht endlich erzeugt ist, dann ist [mm]dim(V)=\infty[/mm]
Das bedeutet, daß man V mit keinem einzigen endlichen Erzeugendensystem erzeugen kann.
Jedes Erzeugendensystem von V ist nicht endlich.
Wenn jedes Erzeugendensystem nicht endlich ist, dann ist die Basi auch nicht endlich - denn eine Basis ist ja ein minimales Erzeugendensystem.
Achtung: "nicht endlich erzeugt" bedeutet nicht, daß es irgendein nicht endliches Erzeugendensystem gibt. (s.o.)
> Ich mein, ein Erzeugendensystem kann von der Anzahl der
> Vektoren ja sehr viel größer sein als eine Basis, kann es
> dann nicht vorkommen, dass ich ein Erzeugendensystem mit
> unendliche vielen Vektoren habe, den Vektorraum selber aber
> mit einer endlichen Zahl an Vektoren in der Basis bilden
> kann?
Ja, aber der Vektorraum, von dem Du sprichst, ist nicht nicht endlich erzeugt, denn er hat ja ein endliches Erzeugendensystem - seine Basis.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 Mo 12.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Angela!
> Das bedeutet, daß man V mit keinem einzigen endlichen
> Erzeugendensystem erzeugen kann.
> Jedes Erzeugendensystem von V ist nicht endlich.
>
> Wenn jedes Erzeugendensystem nicht endlich ist, dann ist
> die Basi auch nicht endlich - denn eine Basis ist ja ein
> minimales Erzeugendensystem.
Also bis hier verstehe ich das jetzt so, dass "nicht endlich erzeugt" bedeutet, dass jedes Erzeugendensystem von V ist nicht endlich, also dass V nur Erzeugendensysteme von unendlicher Größe besitzt.
> Achtung: "nicht endlich erzeugt" bedeutet nicht, daß es
> irgendein nicht endliches Erzeugendensystem gibt. (s.o.)
Und hier verstehe ich das so, dass wenn V nicht endlich erzeugt ist, dass das gerade nicht bedeutet, dass ich V ein Erzeugendensystem unendlicher Größe besitzt.
Irgendwie seh ich jetzt grad noch nicht durch in der Bedeutung von "nicht endlich erzeugt".
Ich habe es bisher so verstanden:
"V endlich erzeugt" --> V hat endliches Erzeugendensystem = Erzeugendensystem mit endlich vielen Vektoren.
Und daraus habe ich für mich geschlossen, dass "V nicht endlich erzeugt" bedeutet, dass V ein unendliches Erzeugendensystem hat, also ein Erzeugendensystem mit unendlich vielen Vektoren (so lese ich auch das [mm] dim(V)=\infty [/mm] )
Kannst du mir das vielleicht nochmal erklären?
LG, Nadine
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Hallo Nadine,
> Hallo Angela!
>
>
>
> > Das bedeutet, daß man V mit keinem einzigen endlichen
> > Erzeugendensystem erzeugen kann.
> > Jedes Erzeugendensystem von V ist nicht endlich.
> >
> > Wenn jedes Erzeugendensystem nicht endlich ist, dann ist
> > die Basi auch nicht endlich - denn eine Basis ist ja ein
> > minimales Erzeugendensystem.
>
> Also bis hier verstehe ich das jetzt so, dass "nicht
> endlich erzeugt" bedeutet, dass jedes Erzeugendensystem von
> V ist nicht endlich,
Ja mit Betonung auf JEDES
> also dass V nur Erzeugendensysteme von
> unendlicher Größe besitzt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
>
> > Achtung: "nicht endlich erzeugt" bedeutet nicht, daß es
> > irgendein nicht endliches Erzeugendensystem gibt. (s.o.)
>
> Und hier verstehe ich das so, dass wenn V nicht endlich
> erzeugt ist, dass das gerade nicht bedeutet, dass ich V ein
> Erzeugendensystem unendlicher Größe besitzt.
>
>
>
> Irgendwie seh ich jetzt grad noch nicht durch in der
> Bedeutung von "nicht endlich erzeugt".
>
> Ich habe es bisher so verstanden:
>
> "V endlich erzeugt" --> V hat endliches Erzeugendensystem =
> Erzeugendensystem mit endlich vielen Vektoren.
>
> Und daraus habe ich für mich geschlossen, dass "V nicht
> endlich erzeugt" bedeutet, dass V ein unendliches
> Erzeugendensystem hat, also ein Erzeugendensystem mit
> unendlich vielen Vektoren (so lese ich auch das
> [mm]dim(V)=\infty[/mm] )
Nein, wenn wir's mal formal aufschreiben, siehst du es ein:
$V$ endl. erzeugt bedeutet: [mm] $\exists [/mm] \ [mm] \text{EZS} [/mm] \ : \ [mm] \text{EZS ist endlich}$
[/mm]
Das nun formal verneinen:
$V$ nicht endlich erzeugt bedeutet: [mm] $\neg\left(\exists \ \text{EZS} \ : \ \text{EZS ist endlich}\right)$
[/mm]
Und das ist gleichbedeutend mit [mm] $\forall [/mm] \ [mm] \text{EZS} [/mm] \ : \ [mm] \text{EZS ist nicht endlich}$
[/mm]
>
> Kannst du mir das vielleicht nochmal erklären?
Wird es so auf die formale Art klar?
>
> LG, Nadine
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:36 Mo 12.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo
> Wird es so auf die formale Art klar?
Ja, vielen Dank für deine Hilfe.
LG, Nadine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:50 Di 13.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe in meiner Vorlesung ein Beispiel zur unendlichen Dimension gefunden:
"Betrachten [mm] \IR [/mm] als [mm] \IQ-Vektorraum [/mm] . Dann gilt [mm] dim_{\IQ}(\IR)=\infty [/mm]
Grund: [mm] \IQ [/mm] ist abzählbar und damit jeder endlich dimensionale [mm] \IQ-Vektorraum. [/mm] Aber [mm] \IR [/mm] ist nicht abzählbar."
Ich verstehe das Beispiel bzw. die Begründung mit der Abzählbarkeit nicht ![[nixweiss]](/images/smileys/nixweiss.gif "[nixweiss]")
Könnte mir das jemand erklären?
Vielen Dank!
LG, Nadine
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:42 Di 13.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen!
>
> Ich habe in meiner Vorlesung ein Beispiel zur unendlichen
> Dimension gefunden:
>
> "Betrachten [mm]\IR[/mm] als [mm]\IQ-Vektorraum[/mm] . Dann gilt
> [mm]dim_{\IQ}(\IR)=\infty[/mm]
> Grund: [mm]\IQ[/mm] ist abzählbar und damit jeder endlich
> dimensionale [mm]\IQ-Vektorraum.[/mm] Aber [mm]\IR[/mm] ist nicht
> abzählbar."
>
> Ich verstehe das Beispiel bzw. die Begründung mit der
> Abzählbarkeit nicht
>
> Könnte mir das jemand erklären?
Das folgende sollt Dir bekannt sein:
Ist K ein Körper und V ein K-Vektorraum der Dimension n [mm] \in \IN, [/mm] so ist V isomorph zu [mm] K^n.
[/mm]
Ist nun K = [mm] \IQ, [/mm] so ist V isomorph zu [mm] \IQ^n.
[/mm]
Da [mm] \IQ [/mm] abzählbar ist, ist es auch [mm] \IQ^n, [/mm] und somit ist V abzählbar.
Wäre nun $ [mm] dim_{\IQ}(\IR) [/mm] < [mm] \infty [/mm] $, so wäre nach obigem [mm] \IR [/mm] abzählbar, Widerspruch
FRED
>
> Vielen Dank!
>
> LG, Nadine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 Di 13.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Fred!
> Das folgende sollt Dir bekannt sein:
>
> Ist K ein Körper und V ein K-Vektorraum der Dimension n
> [mm]\in \IN,[/mm] so ist V isomorph zu [mm]K^n.[/mm]
Das muss ich leider verneinen.
Isomorphie war bei uns noch nicht dran, wenn ich das richtig gesehen habe, kommt es erst im nächsten Kapitel.
Die Defintion von abzählbar hatten wir aber schon.
> Ist nun K = [mm]\IQ,[/mm] so ist V isomorph zu [mm]\IQ^n.[/mm]
>
> Da [mm]\IQ[/mm] abzählbar ist, ist es auch [mm]\IQ^n,[/mm] und somit ist V
> abzählbar.
>
> Wäre nun [mm]dim_{\IQ}(\IR) < \infty [/mm], so wäre nach obigem
> [mm]\IR[/mm] abzählbar, Widerspruch
Wie kmmt man ohne Isomorphie auf die Lösung?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:54 Di 13.10.2009 | | Autor: | fred97 |
Annahme: $ [mm] dim_{\IQ}(\IR) [/mm] = n [mm] \in \IN$
[/mm]
Sei { [mm] b_1, [/mm] ..., [mm] b_n [/mm] } eine Basis des [mm] \IQ [/mm] - Vektoraumes [mm] \IR.
[/mm]
Jedes x [mm] \in \IR [/mm] lässt sich also in eindeutiger Weise darstellen in der Form
$x = [mm] \summe_{i=1}^{n}r_i(x)*b_i$
[/mm]
mit [mm] (r_1(x), [/mm] ..., [mm] r_n(x)) \in \IQ^n
[/mm]
Def. nun die Abbildung f: [mm] \IR \to \IQ^n [/mm] durch
$f(x) := [mm] (r_1(x), [/mm] ..., [mm] r_n(x)) [/mm] $
Diese Abb. ist bijektiv, also , da [mm] \IQ^n [/mm] abzählbar, ist [mm] \IR [/mm] abzählbar, Widerspruch
FRED
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