Dimension < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:07 Di 23.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Seien K ein Körper,U,V,W endlich-dimensionale K-Vektorräume und f:U-->V, g:V-->W K-linearen Abbildungen.Angenommen f ist surjektiv.Man beweise,dass dim Ker g [mm] \circ [/mm] f=dim Ker f+dim Ker f.
Hinweis:Man verwende den Dimensionssatz. |
Guten Abend,
ich versuche grad diese Aufgabe zu lösen,komme aber nicht mehr weiter.
Also ich hab zunächst g [mm] \circ [/mm] f=g(f(x)), also g [mm] \circ [/mm] f:U-->W.
Außerdem ist f surjektiv, d.h. [mm] \forall [/mm] v [mm] \in [/mm] V: [mm] \exists [/mm] u [mm] \in [/mm] U:f(u)=v
So,jetzt schau ich mir den Dimensionssatz an,der besagt
-für f: dim U=dim ker f+dim Bild f
-für g: dim V=dim ker g+dim Bild g
für g [mm] \circ [/mm] f: dim U=dim ker g [mm] \circ [/mm] f+dim Bild g [mm] \circ [/mm] f
jetzt muss ich zeigen,dass dim Ker g [mm] \circ [/mm] f=dim Ker f+dim Ker f.
So, um die Dimensions des Kerns von g [mm] \circ [/mm] f zu bestimmen,muss ich den Kern von g [mm] \circ [/mm] f bestimmen.
Oder ich beginne mit der anderen Richtung und bestimme den Kern von f und g zuerst und bestimme deren Dimensionen.
Das Problem ist,ich habe hier keine konkrete Abbildung,kann also nicht den Kern und seine Dimension bestimmen.
Oder ich schaue mir den Dimensionssatz für g [mm] \circ [/mm] f an,aus dem folgt: dim ker g [mm] \circ [/mm] f=dim U- dim Bild g [mm] \circ [/mm] f.
Dann kann ich in die Aussage einsetzen,die ich beweisen muss,und habe:
dim U-dim Bild g [mm] \circ [/mm] f=dim ker g+dim ker f, muss das also beweisen.
So,bis hier hin bin ich gekommen,aber ich finde jetzt keinen richtigen Ansatz,wie ich weitermachen kann, wahrscheinlich muss ich jetzt ausnutzen,dass f surjektiv ist,aber ich weiß nicht was mir das bringt.
Kann mir jemand einen Tipp geben,wie ich weitermachen kann?
Vielen Dank
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:26 Do 25.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
Kann mir denn niemand sagen ob meine Ansätze richtig sind?
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:44 Do 25.11.2010 | | Autor: | wieschoo |
Meinst du wirklich, was du schreibst?
$dim [mm] Ker(g\circ [/mm] f) = dim Ker(f) + dim Ker(f)$
oder doch
$dim [mm] Ker(g\circ [/mm] f) = dim Ker(f) + dim Ker(g)$
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:16 Do 25.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Meinst du wirklich, was du schreibst?
>
> [mm]dim Ker(g\circ f) = dim Ker(f) + dim Ker(f)[/mm]
>
> oder doch
> [mm]dim Ker(g\circ f) = dim Ker(f) + dim Ker(g)[/mm]
O weh, ja du hast recht, hab mich vertippt ^^
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Hi,
falls du wirklich [mm]dim (Ker(g\circ f))=dim Ker(f) + dim Ker(g)[/mm] zeigen sollst, dann könnte ich dir helfen.
Wie du geschrieben hast gilt:
[mm]dim\,\,U = dim\,\,Bld(f) + dim\,\,Ker(f)[/mm]
[mm]dim\,\,V = dim\,\,Bld(g) + dim\,\,Ker(g)[/mm]
[mm]dim\,\,U = dim\,\,Bld(g\circ f) + dim\,\,Ker(g\circ f)[/mm]
f surjektiv heißt: f(U)=V. Damit folgt wiederum
[mm]Bld(g\circ f)=(g\circ f)(U)=g(f(U))=g(V)=Bld(g)[/mm]
Die wohlmöglich der Gedanke gefehlt hat.
Damit kannst du leicht von hinten das Feld aufräumen:[mm]dim\,\,Ker(g\circ f)=dim\,\,Ker(f) + dim\,\,Ker(g)=dim\,\,V - dim\,\,Bld(g) + dim\,\,U - dim\,\,Bld(f)=\ldots = dim\,\,U - dim\,\,Bld(g\circ f)[/mm]Jetzt schreibst du nur noch von unten nach oben alles ab:[mm]dim\,\,Ker(g\circ f)=dim\,\,U - dim\,\,Bld(g\circ f)=\ldots = dim\,\,Ker(f) + dim\,\,Ker(g)[/mm]
Ich hoffe ich konnte dir helfen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 Do 25.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hi,
>
> falls du wirklich [mm]dim (Ker(g\circ f))=dim Ker(f) + dim Ker(g)[/mm]
> zeigen sollst, dann könnte ich dir helfen.
> Wie du geschrieben hast gilt:
> [mm]dim\,\,U = dim\,\,Bld(f) + dim\,\,Ker(f)[/mm]
> [mm]dim\,\,V = dim\,\,Bld(g) + dim\,\,Ker(g)[/mm]
>
> [mm]dim\,\,U = dim\,\,Bld(g\circ f) + dim\,\,Ker(g\circ f)[/mm]
>
>
> f surjektiv heißt: f(U)=V. Damit folgt wiederum
> [mm]Bld(g\circ f)=(g\circ f)(U)=g(f(U))=g(V)=Bld(g)[/mm]
> Die
> wohlmöglich der Gedanke gefehlt hat.
> Damit kannst du leicht von hinten das Feld
> aufräumen:[mm]dim\,\,Ker(g\circ f)=dim\,\,Ker(f) + dim\,\,Ker(g)=dim\,\,V - dim\,\,Bld(g) + dim\,\,U - dim\,\,Bld(f)
bis hier hin hab ich es verstanden,
>= \ldots = dim\,\,U - dim\,\,Bld(g\circ f)[/mm]Jetzt
aber wie du auf das gekommen bist,kann ich nicht nachvollziehen?
lg
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Ich habe es von hinten aufgerollt.
Du sollst zeigen:[mm] dim (Ker(g\circ f))=dim Ker(f) + dim Ker(g) [/mm] und weißt:[mm] dim\,\,U = dim\,\,Bld(g\circ f) + dim\,\,Ker(g\circ f) [/mm]
Meistens ist aber aber einfacher von hinten anzufangen. Also die Aussage
[mm] dim (Ker(g\circ f))=dim Ker(f) + dim Ker(g) [/mm] anzunehmen und umformen, bis du zu [mm] dim\,\,U = dim\,\,Bld(g\circ f) + dim\,\,Ker(g\circ f) [/mm]kommst. Wenn du fertig bist schreibst du es anders herum auf:
[mm] dim\; Ker(g\circ f) = dim\; U - dim \; Bld(g\circ f)= dim\; U - dim \; Bld(g)= dim\; Ker(f)+ dim\; Bld(f) - \left ( dim V - dim Ker(g) \right )= dim\; Ker(f)+ dim Ker(g) + dim\; Bld(f) - dim (V)= dim\; Ker(f)+ dim Ker(g)[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 Fr 26.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Ich habe es von hinten aufgerollt.
> Du sollst zeigen:[mm] dim (Ker(g\circ f))=dim Ker(f) + dim Ker(g)[/mm]
> und weißt:[mm] dim\,\,U = dim\,\,Bld(g\circ f) + dim\,\,Ker(g\circ f)[/mm]
>
> Meistens ist aber aber einfacher von hinten anzufangen.
> Also die Aussage
> [mm]dim (Ker(g\circ f))=dim Ker(f) + dim Ker(g)[/mm] anzunehmen
> und umformen, bis du zu [mm]dim\,\,U = dim\,\,Bld(g\circ f) + dim\,\,Ker(g\circ f) [/mm]kommst.
> Wenn du fertig bist schreibst du es anders herum auf:
>
> [mm]dim\; Ker(g\circ f) = dim\; U - dim \; Bld(g\circ f)= dim\; U - dim \; Bld(g)= dim\; Ker(f)+ dim\; Bld(f) - \left ( dim V - dim Ker(g) \right )= dim\; Ker(f)+ dim Ker(g) + dim\; Bld(f) - dim (V)= dim\; Ker(f)+ dim Ker(g)[/mm]
>
>
Ok,ich verstehe hier noch nicht wie du darauf kommst dass = [mm] dim\; [/mm] U - dim [mm] \; Bld(g\circ [/mm] f)= [mm] dim\; [/mm] U - dim [mm] \; [/mm] Bld(g). Dann müsste ja dim Bild (g [mm] \circ [/mm] f)=dim Bild g sein,wie kommt man drauf?
Achso ich galub ich habs doch verstanden,ist es so weil, g [mm] \circ [/mm] f auf W abgebildet wird und g auch?
lg
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Ist dann nun eine Frage? Oder nicht. Der springende Punkt ist:[mm]\boxed{ Bld(g\circ f)=(g\circ f)(U)=g(f(U))=g(V)=Bld(g) }[/mm]
Das ganze geht nur, weil f surjektiv ist f(U)=V.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:11 Fr 26.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Ist dann nun eine Frage? Oder nicht. Der springende Punkt
> ist:[mm]\boxed{ Bld(g\circ f)=(g\circ f)(U)=g(f(U))=g(V)=Bld(g) }[/mm]
>
> Das ganze geht nur, weil f surjektiv ist f(U)=V.
War keine wirkliche Frage mehr.Jedenfalls hab ich jetzt verstanden.
Vielen,vielen Dank nochmal.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 So 28.11.2010 | | Autor: | fasko |
> Ich habe es von hinten aufgerollt.
> Du sollst zeigen:[mm] dim (Ker(g\circ f))=dim Ker(f) + dim Ker(g)[/mm]
> und weißt:[mm] dim\,\,U = dim\,\,Bld(g\circ f) + dim\,\,Ker(g\circ f)[/mm]
>
> Meistens ist aber aber einfacher von hinten anzufangen.
> Also die Aussage
> [mm]dim (Ker(g\circ f))=dim Ker(f) + dim Ker(g)[/mm] anzunehmen
> und umformen, bis du zu [mm]dim\,\,U = dim\,\,Bld(g\circ f) + dim\,\,Ker(g\circ f) [/mm]kommst.
> Wenn du fertig bist schreibst du es anders herum auf:
>
>[mm]dim\; Ker(g\circ f) = dim\; U - dim \; Bld(g\circ f)= dim\; U - dim \; Bld(g)= dim\; Ker(f)+ dim\; Bld(f) - \left ( dim V - dim Ker(g) \right )= dim\; Ker(f)+ dim Ker(g) + dim\; Bld(f) - dim (V) = dim\; Ker(f)+ dim Ker(g)[/mm]
>
>
Sorry, aber ich hätte dazu noch eine Frage: warum ist
$ [mm] dim\;Bild(f) [/mm] - dim(V) = 0 $
ansonsten kommt doch was anderes raus, oder nicht? (Das vor dem letzten Gleichheitszeichen)
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:05 So 28.11.2010 | | Autor: | fasko |
Ok, danke. Ich hab wohl den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen ... ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
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