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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:08 Di 29.03.2011 | | Autor: | Anton22 |
| Aufgabe | | V, W zwei Vektorräume, dim(V)= 2, dim(W)= 4, dim [mm] (V\capW)= [/mm] 2, was ist dim(V+W)? |
Hallo,
Meine Frage ist nicht sehr anspruchsvoll bedarf lediglich einer kurzen erklärung die ich hierbei nicht verstehe. Die antwort auf dim(V+W)=4, ist ja einfach nur die dimensionsformel ausnutzen. Aber, wie deute ich "dim(V+W)", wieso ist das 4 und nicht dim(2+4)=dim(6)????
Wäre sehr dankbar wenn mir das jemand erklären würde.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Anton22,
> V, W zwei Vektorräume, dim(V)= 2, dim(W)= 4, dim [mm](V \cap W)=[/mm]
> 2, was ist dim(V+W)?
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> Hallo,
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> Meine Frage ist nicht sehr anspruchsvoll bedarf lediglich
> einer kurzen erklärung die ich hierbei nicht verstehe. Die
> antwort auf dim(V+W)=4, ist ja einfach nur die
> dimensionsformel ausnutzen. Aber, wie deute ich "dim(V+W)",
> wieso ist das 4 und nicht dim(2+4)=dim(6)????
>
Das ist nur der Fall, wenn dim[mm]\left(V \cap W\right)=0[/mm]
Das heißt V und W haben außer dem
Nullvektor keine gemeinsamen Elemente
> Wäre sehr dankbar wenn mir das jemand erklären würde.
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:40 Mi 30.03.2011 | | Autor: | Anton22 |
Hi,
Ja wegen der direkten Summe, aber das beantwortet nicht ganz meine Frage schätze ich. Und zwar warum dim(V+W)=4 ist und nicht dim(V+W)=dim(2+4)=dim(6)=6?
Danke schonmal im voraus.
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Moin Anton,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hi,
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> Ja wegen der direkten Summe, aber das beantwortet nicht
> ganz meine Frage schätze ich. Und zwar warum dim(V+W)=4
> ist und nicht dim(V+W)=dim(2+4)=dim(6)=6?
Stell es dir über die Länge der Basen vor.
[mm] $\dim(V\cap [/mm] W)=2$, d.h. der Schnitt der beiden Vektorräume hat eine Basis der Länge 2. Aber wegen [mm] $\dim(V)=2$ [/mm] hat auch V eine Basis der Länge 2. Es folgt [mm] V\cap [/mm] W=V und insbesondere [mm] V\subset [/mm] W.
Damit bleibt die direkte Summe V+W vierdimensional.
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> Danke schonmal im voraus.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:57 Mi 30.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> V, W zwei Vektorräume, dim(V)= 2, dim(W)= 4, dim [mm](V\capW)=[/mm]
> 2, was ist dim(V+W)?
>
> Hallo,
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> Meine Frage ist nicht sehr anspruchsvoll bedarf lediglich
> einer kurzen erklärung die ich hierbei nicht verstehe. Die
> antwort auf dim(V+W)=4, ist ja einfach nur die
> dimensionsformel ausnutzen. Aber, wie deute ich "dim(V+W)",
> wieso ist das 4 und nicht dim(2+4)=dim(6)????
>
> Wäre sehr dankbar wenn mir das jemand erklären würde.
Wer hat denn gesagt, dass dim(V+W)=4 ist ? Fehlt in der Aufgabenstellung nicht etwas ?
Das einzige, was man sagen kann ist :
4 [mm] \le [/mm] dim(V+W) [mm] \le [/mm] 6.
Wir begeben uns in den [mm] \IR^6 [/mm] und bez. mit [mm] e_1,..., e_6 [/mm] die Standardbasis von [mm] \IR^6
[/mm]
<...> bez. die lineare Hülle.
Sei [mm] W:=.
[/mm]
1. Ist [mm] V=, [/mm] so ist dim(V+W)=4
2. Ist [mm] V=, [/mm] so ist dim(V+W)=5
3. Ist [mm] V=, [/mm] so ist dim(V+W)=6
FRED
>
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:23 Mi 30.03.2011 | | Autor: | Anton22 |
Danke soweit alles klar.
Also wenn ich 2 Vektorräume habe, U, W, dim(U)= 9, und dim(W)= 5 und beide sind Teilräume von V, wobei dim(V)= 11 ist. Jetzt soll ich Grenzen angeben: [mm] __<=dim(U\capW)<=__. [/mm] Dann ergibt sich ja aus der Dimensionsformel: [mm] dim(U\capW)= [/mm] 9 + 5 - dim(U+W) =14 - (14?) oder [mm] dim(U\capW)= [/mm] 14 - 4?
Danke schonmal im voraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:48 Mi 30.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Danke soweit alles klar.
> Also wenn ich 2 Vektorräume habe, U, W, dim(U)= 9, und
> dim(W)= 5 und beide sind Teilräume von V, wobei dim(V)= 11
> ist. Jetzt soll ich Grenzen angeben: [mm]__<=dim(U\capW)<=__.[/mm]
> Dann ergibt sich ja aus der Dimensionsformel: [mm]dim(U\capW)=[/mm]
> 9 + 5 - dim(U+W) =14 - (14?) oder [mm]dim(U\capW)=[/mm] 14 - 4?
Was Du da schreibst, ist nicht nachzuvollziehen
FRED
>
> Danke schonmal im voraus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 Mi 30.03.2011 | | Autor: | Anton22 |
Das erkennt man nicht, aber die grenzen sollten hierbei sein: __ <= (dim U geschnitten W ) <= __ ermittelt werden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:57 Mi 30.03.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Hallo Anton,
Du schreibst für den Schnitt [mm] \text{U}\backslash\text{capW}
[/mm]
Das Ergebnis davon ist aber [mm] U\capW
[/mm]
Damit man es ordentlich lesen kann, schreib zwischen [mm] \backslash\text{cap} [/mm] und dem danach folgendem Formelrest ein Leerzeichen:
[mm] \qquad $U\cap [/mm] W$
Nutze auch die Vorschaufunktion.
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:11 Mi 30.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Aus dem Quelltext habe ich entnommen:
V, W zwei Vektorräume, dim(V)= 2, dim(W)= 4, dim (V [mm] \cap [/mm] W)= 2, was ist dim(V+W)?
Das " dim (V $ [mm] \cap [/mm] $ W)= 2" war vorher nicht zu erkennen.
Wegen V [mm] \cap [/mm] W [mm] \subseteq [/mm] V und dim (V [mm] \cap [/mm] W)= 2= dim (V) ist natürlich V [mm] \cap [/mm] W = V .
Dann folgt V [mm] \subseteq [/mm] W. Somit ist V+W=W und dann ist natürlich dim(V+W)=4.
FRED
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