Dimension Beweis < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:50 Mo 01.06.2015 | | Autor: | rsprsp |
| Aufgabe | Sei [mm] \IK [/mm] ein Körper und V ein K-Vektorraum der Dimension n. Seien [mm] U_{1}, [/mm] . . . , [mm] U_{k} [/mm] K-Untervektorräume von V mit [mm] dim(U_{i}) [/mm] = n − 1, (i = 1, . . . , k). Beweisen Sie die Ungleichung:
[mm] dim(U_{1} [/mm] ∩ . . . ∩ [mm] U_{k}) [/mm] ≥ n − k. |
Kann mir jemand mit dem Beweis helfen bzw. ein Ansatz zeigen ? Danke im voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:33 Mo 01.06.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo rsprsp!
Führe eine Induktion nach k durch.
Im Induktionsschritt kann die Dimensionsformel für Untervektorräume nützlich sein...
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:07 Di 02.06.2015 | | Autor: | rsprsp |
Also ich habe
[mm] dim(U_{i}) [/mm] = n-1, {i,...,k} und
[mm] dim(U_{1} [/mm] ∩ . . . ∩ [mm] U_{k}) [/mm] ≥ n − k
i.A. k=1
[mm] dim(U_{1}) [/mm] = n-1 und
[mm] dim(U_{1}) [/mm] ≥ n−1
Wie man sieht sind die Gleichungen identisch.
i.V.
[mm] dim(U_{1} [/mm] ∩ . . . ∩ [mm] U_{k}) [/mm] ≥ n − k
i.S k+1
[mm] dim(U_{1} [/mm] ∩ . . . ∩ [mm] U_{k} [/mm] ∩ [mm] U_{k+1}) [/mm] ≥ n − k + 1 und [mm] dim(U_{i}) [/mm] = n-1, {i,...,k,k+1}
Kannst du mir zeigen wies weiter geht und wie ich die Dimensionsformel anwenden soll ?
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> Also ich habe
> [mm]dim(U_{i})[/mm] = n-1, {i,...,k} und
> [mm]dim(U_{1}[/mm] ∩ . . . ∩ [mm]U_{k})[/mm] ≥ n − k
>
> i.A. k=1
> [mm]dim(U_{1})[/mm] = n-1 und
>
> [mm]dim(U_{1})[/mm] ≥ n−1
>
> Wie man sieht sind die Gleichungen identisch.
>
> i.V.
> [mm]dim(U_{1}[/mm] ∩ . . . ∩ [mm]U_{k})[/mm] ≥ n − k
> i.S k+1
> [mm]dim(U_{1}[/mm] ∩ . . . ∩ [mm]U_{k}[/mm] ∩ [mm]U_{k+1})[/mm] ≥ n − [mm] \red{(}k [/mm] + 1 [mm] \red{)}
[/mm]
> und [mm]dim(U_{i})[/mm] = n-1, {i,...,k,k+1}
>
>
> Kannst du mir zeigen wies weiter geht und wie ich die
> Dimensionsformel anwenden soll ?
Hallo,
beachte die eingefügte Klammer.
Kennst Du denn die Dimensionsformel? Wie lautet sie?
Nimm dann [mm] V_1:=[/mm] [mm](U_{1}[/mm] ∩ . . . ∩ [mm]U_{k}[/mm]) und [mm] V_2:=U_{k+1}.
[/mm]
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:55 Di 02.06.2015 | | Autor: | rsprsp |
Die Dimensionsformel lautet:
[mm] dim(v_{1}+v_{2}) [/mm] = [mm] dim(v_{1})+dim(v_{2})-dim(v_{1} \cap v_{2})
[/mm]
Also wenn jetzt
[mm] v_{1} [/mm] = [mm] (U_{1} \cap [/mm] ... [mm] \cap U_{k})
[/mm]
[mm] v_{2} [/mm] = [mm] U_{k+1}
[/mm]
[mm] dim((U_{1} \cap [/mm] ... [mm] \cap U_{k})+U_{k+1}) [/mm] = [mm] dim(U_{1} \cap [/mm] ... [mm] \cap U_{k}) [/mm] + [mm] dim(U_{k+1}) [/mm] - [mm] dim(U_{1} \cap [/mm] ... [mm] \cap U_{k} \cap U_{k+1})
[/mm]
Ich weiß jetzt, dass
[mm] dim(U_{k+1}) [/mm] = n-1,
da es nach [mm] dim(U_{i}) [/mm] = n-1, i=(1,...,k+1) gelten muss.
Zusätzlich ist:
[mm] dim(U_{1} \cap [/mm] ... [mm] \cap U_{k}) \ge [/mm] n-k
Ich weiß aber nicht womit ich jetzt [mm] dim((U_{1} \cap [/mm] ... [mm] \cap U_{k})+U_{k+1}) [/mm] oder [mm] dim(U_{1} \cap [/mm] ... [mm] \cap U_{k} \cap U_{k+1}) [/mm] ersetzen soll damit die Ungleichung eindeutig bewiesen ist.
Kannst du weiterhelfen ?
Gruß
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> Die Dimensionsformel lautet:
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> [mm]dim(v_{1}+v_{2})[/mm] = [mm]dim(v_{1})+dim(v_{2})-dim(v_{1} \cap v_{2})[/mm]
>
> Also wenn jetzt
> [mm]v_{1}[/mm] = [mm](U_{1} \cap[/mm] ... [mm]\cap U_{k})[/mm]
> [mm]v_{2}[/mm] = [mm]U_{k+1}[/mm]
>
>
> [mm]dim((U_{1} \cap[/mm] ... [mm]\cap U_{k})+U_{k+1})[/mm] = [mm]dim(U_{1} \cap[/mm]
> ... [mm]\cap U_{k})[/mm] + [mm]dim(U_{k+1})[/mm] - [mm]dim(U_{1} \cap[/mm] ... [mm]\cap U_{k} \cap U_{k+1})[/mm]
>
> Ich weiß jetzt, dass
> [mm]dim(U_{k+1})[/mm] = n-1,
> da es nach [mm]dim(U_{i})[/mm] = n-1, i=(1,...,k+1) gelten muss.
> Zusätzlich ist:
> [mm]dim(U_{1} \cap[/mm] ... [mm]\cap U_{k}) \ge[/mm] n-k
>
> Ich weiß aber nicht womit ich jetzt [mm]dim((U_{1} \cap[/mm] ... [mm]\cap U_{k})+U_{k+1})[/mm]
Hallo,
an dieser Stelle solltest Du ansetzen: überlege Dir, welche Dimensionen für [mm] (U_{1} \cap[/mm] [/mm] ... [mm][mm] \cap U_{k})+U_{k+1} [/mm] überhaupt nur infrage kommen.
LG Angela
> oder [mm]dim(U_{1} \cap[/mm] ... [mm]\cap U_{k} \cap U_{k+1})[/mm]
> ersetzen soll damit die Ungleichung eindeutig bewiesen
> ist.
> Kannst du weiterhelfen ?
>
> Gruß
>
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