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| Aufgabe | Seien U, V und W endlich dimensionale Vektorräume über K. Seinen S:V → W und T: U → V lineare Abbildungen. Zeige
a) dim Bild (ST) ≤ dim Bild S,
b) dim Bild (ST) ≤ dim Bild T,
c) dim Kern (ST) ≥ dim Kern T,
d) Finde ein Beispiel mit dim Kern (ST) > dim Kern S,
e) Finde ein Beispiel mit dim Kern (ST) < dim Kern S. |
Könnte mir dazu bitte jemand Hinweise, Tipps, Lösungsvorschläge oder sonst etwas der gleichen geben?!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Moin Cheermaus,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") >
> Seien U, V und W endlich dimensionale Vektorräume über K.
> Seinen S:V → W und T: U → V lineare Abbildungen. Zeige
> a) dim Bild (ST) ≤ dim Bild S,
> b) dim Bild (ST) ≤ dim Bild T,
> c) dim Kern (ST) ≥ dim Kern T,
> d) Finde ein Beispiel mit dim Kern (ST) > dim Kern S,
> e) Finde ein Beispiel mit dim Kern (ST) < dim Kern S.
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> Könnte mir dazu bitte jemand Hinweise, Tipps,
> Lösungsvorschläge oder sonst etwas der gleichen geben?!
Es gilt [mm] $Bild(T)\subseteq [/mm] V$. Die Abbildung S wird in der Abbildung ST durch Vektoren aus Bild(T) gefüttert (klar machen!). Es folgt sofort b): [mm] $\dim Bild(ST)\leq \dim [/mm] Bild(T)$.
Ebenso folgt a), denn es gilt [mm] $Bild(ST)\subseteq [/mm] Bild(S)$.
Für c) denke an die Eigenschaft linearer Abbildungen, den Nullvektor auf den Nullvektor abzubilden.
d)+ e) hier musst du ein wenig probieren.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
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LG
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