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| Aufgabe 1 | Sei V der Vektorraum aller Polynome mit Grad kleiner gleich 3 , sei [mm] T:V\to [/mm] V definiert als
T(p(x))=p(x+1)+p(x-1)-2*p(x)
Finden Sie eine Basis von Ker(T). |
| Aufgabe 2 | Sei V der Vektorraum aller Polynome mit Grad kleiner-gleich 2 . Sei [mm] T:V\to [/mm] V definiert als
S(p(x))=p(x+1)-p(x)
Zeigen Sie, dass S eine lineare Abbildung ist, Geben Sie eine BAsis von Ker(T) und Im(T) an. |
Hallo,
zu Aufgabe 1:
Mein professor hat in der Vorlesung nur folgendes gemacht:
Sei [mm] B=\{1,x,x^2,x^3\} [/mm] eine Basis von V , dann ist T(1)=0 , T(x)=0 , [mm] T(x^2)=2 [/mm] und [mm] T(x^3)=6x
[/mm]
Dies würde direkt zeigen, dass eine Basis von Ker(T) gegeben ist durch 1 und x
Wie schließt er das ? Müsste ich nicht eigentlich die Matrix zur Basis B bestimmen und das korrespondierende Gleichungsystem lösen, also [mm] [T]_B*v=0 [/mm] ?
Gleiches gilt für Aufgabe 2, wie bestimme ich denn die Basen ? Mir ist das jetzt irgendwie überhaupt nicht mehr klar.
Lg
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Hallo,
> Sei V der Vektorraum aller Polynome mit Grad kleiner gleich
> 3 , sei [mm]T:V\to[/mm] V definiert als
>
> T(p(x))=p(x+1)+p(x-1)-2*p(x)
>
> Finden Sie eine Basis von Ker(T).
> Sei V der Vektorraum aller Polynome mit Grad kleiner-gleich
> 2 . Sei [mm]T:V\to[/mm] V definiert als
>
> S(p(x))=p(x+1)-p(x)
>
> Zeigen Sie, dass S eine lineare Abbildung ist, Geben Sie
> eine BAsis von Ker(T) und Im(T) an.
> Hallo,
>
> zu Aufgabe 1:
>
> Mein professor hat in der Vorlesung nur folgendes gemacht:
>
> Sei [mm]B=\{1,x,x^2,x^3\}[/mm] eine Basis von V , dann ist T(1)=0 ,
> T(x)=0 , [mm]T(x^2)=2[/mm] und [mm]T(x^3)=6x[/mm]
>
> Dies würde direkt zeigen, dass eine Basis von Ker(T)
> gegeben ist durch 1 und x
>
> Wie schließt er das ? Müsste ich nicht eigentlich die
> Matrix zur Basis B bestimmen und das korrespondierende
> Gleichungsystem lösen, also [mm][T]_B*v=0[/mm] ?
Das kannst du auch tun, und das führt genauso zum richtigen Ergebnis wie das des Professors.
Warum darf der Professor das:
Zunächst ist, denke ich, einsichtig, dass 1 und x zumindest einen Untervektorraum des Kerns der Abbildung aufspannen.
Er dürfte dies NICHT, wenn herauskommen würde:
[mm] T(x^{2}) [/mm] = 2x, [mm] T(x^{3}) [/mm] = 6x
Dann wären nämlich die Bilder linear abhängig, und der Kern könnte noch größer sein (ist das klar?).
Wenn allerdings die Bilder linear unabhängig sind, also eben
[mm] T(x^2)=2 [/mm] und [mm] T(x^3)=6x,
[/mm]
so kannst du durch Linearkombination der Bilder von [mm] x^{2} [/mm] und [mm] x^{3} [/mm] nicht noch mehr Nullen erzeugen.
(Die Begründung war jetzt etwas heuristisch, aber vielleicht ist das in diesem Fall die bessere Wahl).
Grüße,
Stefan
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