Dimension, Lineare Hülle < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Wäre mein Ansatz bei folgender Aufgabe richtig ? :
v1= [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 0} [/mm] v2= [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 2} [/mm]
v3=v4= [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 4 \\ 0} [/mm] v5= [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 2 \\ 2} [/mm]
[mm] v6=\vektor{2 \\ 3 \\ 0 \\ -2}
[/mm]
man soll jetzt die dimension der linearen Hülle L (v1,v2,v3) von v1,v2,v3 bestimmen und eine Basis für L (v1,v2,v3) aus Vektoren der Euklidischen länge 1, d.h. der länge 1 bezüglich der Norm || . || 2 - norm angeben.
Die Lineare Hülle ist ja die Menge aller Linearkombinationen, daher dachte ich überprüfe ich jetzt einfach ob v1,v2,v3 linear abhängig sind oder nicht.
wenn ich da mein gleichungssystem aufstelle habe drei gleichungen drei unbekannte jedoch ein vektor mit vier zeilen , das macht aber nix aus oder ? kann ich das so berechnen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:32 Fr 11.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja kannst du. aber du musst ja nur zeigen ob die 3 lin unabh, sind, d,h, dass alle 3 Koefizienten 0 sind oder nicht. dass 2 davon lin unabh. sind sieht man direkt.
gruss leduart
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ich habe jetzt gezeigt dass alle meine lambdas = 0 sind.. und somit die drei vektoren linear unabhängig.
was sagt mir das jedoch über meine dimension aus ? :S
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Guten Abend,
> ich habe jetzt gezeigt dass alle meine lambdas = 0 sind..
> und somit die drei vektoren linear unabhängig.
>
> was sagt mir das jedoch über meine dimension aus ? :S
Die Dimension ist gerade die Basislänge bei endlich dimensionalen Vektorräumen. Deine Basis enthält 3 Elemente, da [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] linear unabhängig sind. Also ist die Dimension des aufgespannten Raums 3.
Gruß
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okay und was wäre meine dimension wenn sie linear abhängig wären ?
wenn ich die l.u. von vier vektoren überprüft hätte, wäre dann meine dimension 4 bei l.u ?
und wie gehe ich weiter vor ?
bestimme eine Basis für L (v1,v2,v3) aus Vektoren der Euklidischen länge 1, d.h. der länge 1 bezüglich der Norm || . || 2 - norm angeben.
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Hi,
> okay und was wäre meine dimension wenn sie linear
> abhängig wären ?
Die Dimension ist auch die maximale Anzahl lin. unabh. Vektoren des Spanns.
>
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> wenn ich die l.u. von vier vektoren überprüft hätte,
> wäre dann meine dimension 4 bei l.u ?
Ja.
>
> und wie gehe ich weiter vor ?
>
> bestimme eine Basis für L (v1,v2,v3) aus Vektoren der
> Euklidischen länge 1, d.h. der länge 1 bezüglich der
> Norm || . || 2 - norm angeben.
Wegen linearer Unabhängigkeit hast du ja schon eine Basis. Du musst jeden Basisvektor b noch normieren:
Setze [mm] b':=\frac{1}{||b||}b, [/mm] dann $||b'||=1$
>
Gruß
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hmm okay aber was ist denn meine basis ? :S
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> hmm okay aber was ist denn meine basis ? :S
Du hast gezeigt, dass [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] linear unabhängig sind. Also bilden sie eine Basis des [mm] Spanns(v_1, v_2, v_3), [/mm] um den es doch hier geht.
Gruß
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sry kann dir nicht folgen.. was müsste ich denn jetzt für b einsetzen ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:02 Sa 12.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
3 mögliche Basisvekioren bi wären vi/(|vi|) i=1,2,3
Gruss leduart
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okay also könnte ich jetzt theoretisch v1 [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 0} [/mm] nehmen ?
wäre dann vi / || vi || = 14 / [mm] \wurzel{14} [/mm]
ahhhhh ich blick gar nicht mehr durch :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:18 Sa 12.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
nein dein erster Basisvektor wäre
[mm] b1=1/\wurzel{14}*[/mm] [mm]\vektor{1 \\
2 \\
3 \\
0}[/mm]
Gruss leduart
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ahso okay...
mein zweiter wäre dann:
b2= 1/ [mm] \wurzel{6} \vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 2}
[/mm]
und dritte dann analog.. so und weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:29 So 13.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
jetzt fass zusammen , was du so nach und nach raus hattest und sieh nach ob dir noch was fehlt. und wenn was?
sieh dir dazu nochmal die fragestellung deiner Aufgabe an! und schreib ordentlich und im zusammenhang die ergebnisse auf.
Gruss leduart
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ich muss jetzt das berechnen stimmts ?
[mm] b':=\frac{1}{||b||}b [/mm] und ||b'||=1
sagen wir für b1
b1 war ja:
1 / [mm] \wurzel{14} \vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 0}
[/mm]
danach müsste ||b'||=1 sein
(1/ 14 + 4/14 + 9/14) = 14/14=1=1
so wäre ich jetzt fertig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:47 So 13.02.2011 | | Autor: | lexjou |
Hallo,
> ich muss jetzt das berechnen stimmts ?
Ja, Du sollst den Vektor normieren - ihn also auf die Länge 1 bringen!
>
> [mm]b':=\frac{1}{||b||}b[/mm] und ||b'||=1
>
> sagen wir für b1
Ein normierter Vektor betitelt sich üblicherweise mit q, aber wenn Du ihn nicht in eine ONB bringen sollst, dann kannst Du [mm]b_{1}[/mm] lassen!
>
> b1 war ja:
>
> 1 / [mm]\wurzel{14} \vektor{1 \\
2 \\
3 \\
0}[/mm]
>
> danach müsste ||b'||=1 sein
Die Länge muss in jedem Fall 1 ergeben.
Ich frage mich allerdings, was Du mit "2-Norm" meinst, denn mir ist nur die Standardnorm, die L1-Norm und die Maximumsnorm bekannt! Aber Du meinst bestimmt die euklidische Norm! Die trägt auch den Namen "2-Norm".
>
> (1/ 14 + 4/14 + 9/14) = 14/14=1=1
>
> so wäre ich jetzt fertig?
Wenn das Deine Berechnung zur Überprüfung sein soll, dass der Vektor jetzt die Länge 1 hat, dann ja!
Sollst Du eine ONB zusammen basteln, dann nicht!
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die aufgabe lautete folgendermaßen :
man soll jetzt die dimension der linearen Hülle L (v1,v2,v3) von v1,v2,v3 bestimmen und eine Basis für L (v1,v2,v3) aus Vektoren der Euklidischen länge 1, d.h. der länge 1 bezüglich der Norm || . || 2 - norm angeben.
dann wär ich fertig oder?
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Hi,
> die aufgabe lautete folgendermaßen :
>
> man soll jetzt die dimension der linearen Hülle L
> (v1,v2,v3) von v1,v2,v3 bestimmen und eine Basis für L
> (v1,v2,v3) aus Vektoren der Euklidischen länge 1, d.h. der
> länge 1 bezüglich der Norm || . || 2 - norm angeben.
>
>
> dann wär ich fertig oder?
So wie ich das sehe, wurde dir das alles schon erklärt. Wenn du jetzt alles aufgeschrieben hast, dann bist du fertig.
Gruß
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nur um zu überprüfen ob ich alles richtig gemacht habe,..
ich habe das jetzt für die einzelnen basen berechnet und gezeigt dass da auch immer eins rauskommt...
so..
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> nur um zu überprüfen ob ich alles richtig gemacht
> habe,..
>
> ich habe das jetzt für die einzelnen basen berechnet und
> gezeigt dass da auch immer eins rauskommt...
Du meinst wahrscheinlich die einzelnen Basisvektoren
>
> so..
Wenn du etwas kontrolliert haben möchtest: poste deine Ergebnis.
Gruß
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