matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenTopologie und GeometrieDimension Mannigfaltigkeit
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Topologie und Geometrie" - Dimension Mannigfaltigkeit
Dimension Mannigfaltigkeit < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Topologie und Geometrie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Dimension Mannigfaltigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:09 Di 10.01.2017
Autor: kai1992

Hallo zusammen,

ich habe eine (vermutlich wieder triviale) Frage zur Dimension einer Mannigfaltigkeit. Und zwar geht es darum, dass die Dimension einer Mannigfaltigkeit, wie sie in 1.2 auf S. 3 in

https://www.dropbox.com/sh/nqtcl635u0hkxzv/AADwbOnq7zUzCtDaLvqmZTk7a/Skript/diffgeo-skrip2016.pdf?dl=0

definiert wird, "nicht vom Punkt abhängig" ist.
Hierzu wird der Satz von Brouwer angegeben und daraus der Satz über die Invarianz des Gebietes gefolgert, das ist soweit alles klar.

Nun wird am Ende von S. 3/S. 4 gesagt, dass es "für einen Punkt p [mm] \in [/mm] M nicht zwei Karten [mm] U_{1}, U_{2} [/mm] geben [kann], mit p [mm] \in U_{1} \cap U_{2} [/mm] und [mm] U_{1} [/mm] ist homöomorph zu einer offenen Menge [mm] V_{1} \subset \IR^{n} [/mm] und [mm] U_{2} [/mm] homöomorph zu einer offenen Menge [mm] V_{2} \subset \IR^{m}". [/mm] Auch das ist soweit klar. Aber ich habe doch jetzt nur gezeigt, dass die Definition unabhängig von der gewählten Karte ist, nicht aber vom Punkt?

Müsste man nicht eigentlich p, q [mm] \in [/mm] M, p [mm] \neq [/mm] q, und Karten [mm] (U_{1},x) [/mm] um p und [mm] (U_{2},y) [/mm] um q wählen und dann zeigen, dass dann für die lokalen Homöomorphismen x: [mm] U_{1} \subset [/mm] M [mm] \rightarrow V_{1} \subset \IR^{n} [/mm] und y: [mm] U_{2} \subset [/mm] M [mm] \rightarrow V_{2} \subset \IR^{m} [/mm] gilt, dass m=n ist? Oder was übersehe ich hier? [mm] U_{1} [/mm] und [mm] U_{2} [/mm] können doch sogar disjunkt sein?

Danke und lieben Gruß
Kai

        
Bezug
Dimension Mannigfaltigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:26 Di 10.01.2017
Autor: donquijote


> Hallo zusammen,
>  
> ich habe eine (vermutlich wieder triviale) Frage zur
> Dimension einer Mannigfaltigkeit. Und zwar geht es darum,
> dass die Dimension einer Mannigfaltigkeit, wie sie in 1.2
> auf S. 3 in
>  
> https://www.dropbox.com/sh/nqtcl635u0hkxzv/AADwbOnq7zUzCtDaLvqmZTk7a/Skript/diffgeo-skrip2016.pdf?dl=0
>  
> definiert wird, "nicht vom Punkt abhängig" ist.
>  Hierzu wird der Satz von Brouwer angegeben und daraus der
> Satz über die Invarianz des Gebietes gefolgert, das ist
> soweit alles klar.
>  
> Nun wird am Ende von S. 3/S. 4 gesagt, dass es "für einen
> Punkt p [mm]\in[/mm] M nicht zwei Karten [mm]U_{1}, U_{2}[/mm] geben [kann],
> mit p [mm]\in U_{1} \cap U_{2}[/mm] und [mm]U_{1}[/mm] ist homöomorph zu
> einer offenen Menge [mm]V_{1} \subset \IR^{n}[/mm] und [mm]U_{2}[/mm]
> homöomorph zu einer offenen Menge [mm]V_{2} \subset \IR^{m}".[/mm]
> Auch das ist soweit klar. Aber ich habe doch jetzt nur
> gezeigt, dass die Definition unabhängig von der gewählten
> Karte ist, nicht aber vom Punkt?

Es folgt aber zumindest, dass die Dimension in einer Umgebung jedes Punktes konstant ist. Damit ist zu gegebenem n die Menge der x, wo die lokale Dimension n ist, eine offene Teilmenge von M. Ist M zusammenhängend, muss die lokale Dimension auf ganz M kostant sein.

>  
> Müsste man nicht eigentlich p, q [mm]\in[/mm] M, p [mm]\neq[/mm] q, und
> Karten [mm](U_{1},x)[/mm] um p und [mm](U_{2},y)[/mm] um q wählen und dann
> zeigen, dass dann für die lokalen Homöomorphismen x:
> [mm]U_{1} \subset[/mm] M [mm]\rightarrow V_{1} \subset \IR^{n}[/mm] und y:
> [mm]U_{2} \subset[/mm] M [mm]\rightarrow V_{2} \subset \IR^{m}[/mm] gilt,
> dass m=n ist? Oder was übersehe ich hier? [mm]U_{1}[/mm] und [mm]U_{2}[/mm]
> können doch sogar disjunkt sein?
>  
> Danke und lieben Gruß
>  Kai


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Topologie und Geometrie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 2h 24m 5. fred97
DiffGlPar/Existenz der Ableitung
Status vor 8h 40m 2. Staffan
UFina/Estimating the Value at Risk
Status vor 12h 50m 4. Gonozal_IX
UAnaR1FolgReih/Landau-Symbol (Big-O)
Status vor 1d 3h 0m 3. fred97
UAnaSon/Integrationsreihenfolge ∫∫
Status vor 1d 9h 55m 2. Gonozal_IX
SStochWkeit/WK einer Binomialv.
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]