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| Aufgabe | Für endlich dimensionaler Vektorräume [mm] V_1 [/mm] ,.., [mm] V_n [/mm] zeige
[mm] dim(V_1 \times... \times V_n)= dim(V_1)+..+dim(V_n) [/mm] |
Induktion nach i :
i=2
[mm] \alpha [/mm] : [mm] V_1 [/mm] x [mm] V_2 [/mm] -> [mm] V_1 [/mm] lin. Abbildung
[mm] (v_1 [/mm] , [mm] v_2) [/mm] -> [mm] v_1 [/mm]
Nach Dimensionssatz: [mm] dim(V_1 [/mm] x [mm] V_2 [/mm] )= [mm] dim(img(\alpha))+ dim(ker(\alpha))
[/mm]
[mm] img(\alpha)= V_1 [/mm]
[mm] ker(\alpha) [/mm] = [mm] (0,v_2) [/mm] Warum ist dann [mm] ker(\alpha) \cong V_2 [/mm] ???
Weil anders würde es nicht funktionieren????
I.Annahme: [mm] dim(V_1 [/mm] x... x [mm] V_n)= dim(V_1)+..+dim(V_n) [/mm]
I.Schritt: [mm] \psi: (V_1 [/mm] x... x [mm] V_n [/mm] x [mm] V_{n+1}) [/mm] -> [mm] V_{n+1}
[/mm]
[mm] dim(V_1 [/mm] x... x [mm] V_n [/mm] x [mm] V_{n+1}) =dim(img(\psi))+ dim(ker(\psi))= dim(V_{n+1})+ dim(V_1 [/mm] x... x [mm] V_n)= dim(V_{n+1})+ dim(V_1)+..+dim(V_n) [/mm]
wobei letzte Gleichheitszeichen die Induktionsvorrausetzung ist
-> http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=512419
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:08 So 20.01.2013 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ok, also [mm] ker(\alpha)=\{(0,v)\in V_1 \times V_2|v\in V_2\}=\{0\} \times V_2. [/mm] Du kannst nun einen Isomorphismus von [mm] \{0\} \times V_2 [/mm] nach [mm] V_2 [/mm] angeben (oder meinetwegen auch umgekehrt). Was ist denn die einfachste Abbildung (außer der Nullabbildung), die dir einfällt zwischen diesen Vektorräumen? Zeige dann, dass diese ein Isomorphismus ist.
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> Du kannst nun einen Isomorphismus von $ [mm] \{0\} \times V_2 [/mm] $ nach $ [mm] V_2 [/mm] $ angeben (oder meinetwegen auch umgekehrt)
{0} [mm] \times V_2 [/mm] -> [mm] V_2, (0,v_2) [/mm] -> [mm] v_2 [/mm] Isomorphismus
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:44 So 20.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Du kannst nun einen Isomorphismus von [mm]\{0\} \times V_2[/mm] nach
> [mm]V_2[/mm] angeben (oder meinetwegen auch umgekehrt)
>
> {0} [mm]\times V_2[/mm] -> [mm]V_2, (0,v_2)[/mm] -> [mm]v_2[/mm] Isomorphismus
Ja
FRED
>
> LG
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