Dimension Potenzreihenring < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei A ein noetherscher Ring. Zeigen Sie:
$ dim [mm] A[|X_{1},...,X_{n}|] [/mm] = dim A + n $ |
Hallo!
Also die analoge Aussage kennen wir bereits für den Polynomring in n Variabeln, also würde es ja ausreichen zu zeigen, dass Polynomring und Potenzreihenring gleichdimensional sind...Weiß aber nicht, wie man das anstellen sollte...
Der Potenzreihenring ist ja die Vervollständigung vom Polynomring bezüglich des maximalen Ideals, das von allen Variablen erzeugt wird...
Wir wissen bereits, dass im lokalen Fall Ring und Vervollständigung desselben gleichdimensional sind...Nun ist der hier aber nicht lokal -.-
Kann man irgendwie argumentieren, dass jede Lokalisierung gleichdimensional ist dazu?
Irgendwie befinde ich mich in einer Sackgasse...
Was ist, wenn man das einfach erstmal vereinfacht (so wie wir das für den Potenzreihenring bewiesen haben, nur für n=1)
Das ist ja die maximale Höhe eines Primideals und irgendwie ist dann (anschaulich) klar, dass es nur eins höher sein kann, wenn man nur eine Variable dazupackt, doch wie beweist man das?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 Fr 20.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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