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Dimension, Rank, Kern, Bild: Aufgabe 1
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 22:46 So 03.07.2011
Autor: mathestudent111

Aufgabe
Seien A, B [mm] \in K^{n,n}. [/mm] Zeigen Sie:

(a)
dim (Im(A) [mm] \cap [/mm] Ker(B)) = dim (Im(A)) - dim (Im(BA)) = dim(Ker(BA)) - dim(Ker(A))

(b)
rank(A) + rank(B) [mm] \le [/mm] rank(AB) + n

Hallo Leute,

hier habe ich eine Aufgabe aus Lineare Algebra I die ich nicht verstehe :(
Könnt ihr mir bitte da mal helfen?

Danke schonmal im Voraus :)

        
Bezug
Dimension, Rank, Kern, Bild: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:58 So 03.07.2011
Autor: Blech

Hi,

was verstehst Du daran nicht?

Konkrete Fragen, d.h. irgendwas, was über "hier ist die Aufgabe, na dann löst mal" hinausgeht.

ciao
Stefan

Bezug
                
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Dimension, Rank, Kern, Bild: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:13 Mo 04.07.2011
Autor: mathestudent111

Darum schreibe ich ja hierein....
Könnt ihr mir kein Ansatz geben?

Bezug
                
Bezug
Dimension, Rank, Kern, Bild: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:53 Mo 04.07.2011
Autor: mathestudent111

Darum schreibe ich ja hierein....
Könnt ihr mir kein Ansatz geben?

sorry, hatte es grad als mitteilung geschrieben.

Bezug
                        
Bezug
Dimension, Rank, Kern, Bild: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:55 Mo 04.07.2011
Autor: Blech

Ja, aber die ganzen Begriffe werden Dir doch wohl was sagen. Und selbst wenn nicht könntest Du sie nachschlagen.


Was will mir

[mm] $\dim(\ker(BA)) [/mm] - [mm] \dim(\ker(A))$ [/mm]

sagen? Was bedeutet der Ausdruck?

Wann gilt

[mm] $\dim(\ker(BA)) [/mm] = [mm] \dim(\ker(A)) [/mm] ?$


Bezug
                                
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Dimension, Rank, Kern, Bild: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:17 Mo 04.07.2011
Autor: mathestudent111

bedeutung: [mm] \dim(\ker(BA)) [/mm] - [mm] \dim(\ker(A) [/mm]

ker(BA) bedeutet ja dass der Kern von BA aus dem Nullvektor besteht.
Genauso ker(A), also Kern von A besteht aus Nullvektor.


[mm] \Rightarrow [/mm]

[mm] \dim(\ker(BA)) [/mm] - [mm] \dim(\ker(A) [/mm] = dim(Nullvektor) -dim(NV) = 0

stimmt das????

Bezug
                                        
Bezug
Dimension, Rank, Kern, Bild: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:13 Di 05.07.2011
Autor: Blech


> also Kern von A besteht aus Nullvektor.

Nein, [mm] $\ker(A)$ [/mm] *ist* der Kern von A. Was ist der Kern einer Matrix?

Und was ist [mm] $\dim$? [/mm] Was wären konkrete Beispiele (nicht völlig trivial) für Z und z, damit [mm] $\dim(Z)=z$ [/mm] gilt.



Bezug
                                                
Bezug
Dimension, Rank, Kern, Bild: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:32 Di 05.07.2011
Autor: mathestudent111

der kern von Matrix A:
Das müsste ein Vektor v sein, mit v [mm] \in [/mm] V, welches die Gleichung
A * v = 0 erfüllt.

Müsste [mm] \dim(\ker(BA)) [/mm] = [mm] \dim(\ker(A)), [/mm] da A, BA [mm] \in K^{n,n}?? [/mm]

Kannst mir mir mal bitte mal explizit ein Beispiel angeben?


Bezug
                                                        
Bezug
Dimension, Rank, Kern, Bild: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:54 Di 05.07.2011
Autor: Blech


> Das müsste ein Vektor v sein, mit v $ [mm] \in [/mm] $ V, welches die Gleichung

A * v = 0 erfüllt.

Nein. Such mal die Definition raus.

Auch die für dim.


> Müsste $ [mm] \dim(\ker(BA)) [/mm] $ = $ [mm] \dim(\ker(A)), [/mm] $ da A, BA $ [mm] \in K^{n,n}?? [/mm] $

Allgemein gilt die Gleichung sicher nicht. [mm] $B=0^{n\times n}$ [/mm] (die Nullmatrix), [mm] $A=I_n$ [/mm] (die Einheitsmatrix).

> Kannst mir mir mal bitte mal explizit ein Beispiel angeben?

Ein Beispiel für was?

Bezug
                                                                
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Dimension, Rank, Kern, Bild: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 01:00 Di 05.07.2011
Autor: mathestudent111

Ker(A) = {v [mm] \in [/mm] V : A*v = 0}
Aber die Def. hab ich doch eben gegeben?

dim(V) = n , dabei hat V eine Basis mit n Elementen.

Und wie ich jetzt weiter voran?

Bezug
                                                                        
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Dimension, Rank, Kern, Bild: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:20 Do 07.07.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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