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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:07 Sa 18.08.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Menge der Spurfreien Matrizen
W := [mm] \{ A \in M_{n \times n } (\IK): tr(A)=0\} [/mm] bilden einen Teilraum von [mm] M_{n \times n} [/mm] |
Hallo
Meine Frage: Kann ich die Diemsion der Menge W berechnen??
Die [mm] dim(M_{n \times n}) [/mm] = [mm] n^2
[/mm]
Aber von W?
Liebe Grüße,
quasimo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:34 Sa 18.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ok, also der ganze Raum hat Dimension [mm] n^2. [/mm] Eine Basis wären ja z.B. die Matrizen, die genau eine 1 enthalten und sonst 0, nennen wir sie [mm] \{E_{i,j}\}_{1\le i,j \le n}. [/mm] Nun sammel davon mal alle Matrizen, die Spur 0 haben. Diese bilden eine Basis von W (zeig das!).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:48 So 19.08.2012 | | Autor: | quasimo |
Hallo,
ich finde deinen Ansatz interessant bin damit aber nicht weitergekommen.
Ich hab es mir nun anders überlegt.
tr: [mm] M_{n \times n} [/mm] -> [mm] \IK
[/mm]
dim(ker(tr)) + dim(img(tr)) = dim [mm] (M_{n \times n} [/mm] )
dim(W)= dim(ker(tr)) =dim [mm] (M_{n \times n} [/mm] ) - dim(img(tr)) = [mm] n^2 [/mm] - 1
Trotzdem würde ich auch gerne deinen Ansatz komplementieren, vlt kannst du mir da noch etwas helfen.
LG,
quasimo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:27 So 19.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ich habe es auch etwas falsch geschrieben, wie ich gerade sehe, sorry.
Deine Variante ist auch besser, wenn es dir nur um die Dimension geht. Du hast da alles korrekt berechnet.
Meine Variante würde vollständig so aussehen:
Du nimmst alle [mm] E_{i,j} [/mm] mit $i [mm] \not= [/mm] j$. Daraus erzeugst du ja schon mal nur Matrizen, die Spur 0 haben. Allerdings haben diese auch immer nur 0 als Diagonalelemente. Daher brauchst du noch Basismatrizen, mit denen du dir auch noch andere Matrizen zusammenbasteln kannst. z.B. die folgenden:
E$'_{i}$ seien die Matrizen, die überall 0 haben, aber an der Stelle $(i,i)$ eine 1 und an der Stelle $(n,n)$ stets eine -1 haben. (für [mm] 1\le [/mm] i [mm] \le [/mm] n-1).
d.h. für n=3 wäre [mm] E'_2=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 }. [/mm] Mit diesen Matrizen zusammen hättest du eine Basis für W, was du noch zeigen müsstest. Du musst eigentlich nur zeigen, das du jede Diagonalmatrix mit den $E'_i$ darstellen kannst.
Zählen wir die Basiselemente, haben wir auch [mm] $dim(W)=\underbrace{n^2-n}_{\text{die }E_{i,j}}+\underbrace{n-1}_{\text{die }E'_i}=n^2-1.
[/mm]
Da es dir aber nur um die Dimension ging ist dein Weg der bessere.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 So 19.08.2012 | | Autor: | quasimo |
Hallo,
Danke für die Antwort.
Es ist sehr gut erklärt trotzdem ist für mich eine Frage unklar:
Wieso ist [mm] dim(E_i') [/mm] = n-1?
LG,
quasimo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:07 So 19.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Du meinst sicher nicht dim(E'_i), sondern eher die Anzahl der E'_i in der Basis. Von denen gibt es nur n-1 Stück nämlich E'_1, E'_2, ... E'_{n-1} und E'_n gibt es nicht mehr, weil der Eintrag (n,n) ja schon mit -1 besetzt ist.
E'_1 hat also oben links eine 1 und unten rechts eine -1 und je höher der Index i geht, desto weiter rutscht die 1 nach unten rechts, bis eine Stelle vor der -1, mal anschaulich gesprochen. Das ist nur eine von vielen Basen, ich habe mich nur willkürlich für sie entschieden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 So 19.08.2012 | | Autor: | quasimo |
Hallo, ich nochmal ;)
Supa, jetzt hab ich das verstanden.
Nun ist bei der Methode noch eines offen: Zuzeigen dass man jede Diagonalmatrix mit den [mm] E_i' [/mm] und [mm] E_{ij} [/mm] darstellen kann.
Hier ist ja nur die Diagonale interessant.
Hier kann man die Matrizen E _i' mit Skalare multiplizieren und untereinander addieren um so jede Matrix erreichen
Nun wollte ich das aber schön aufschreiben aber es gelint mir nicht
[mm] \pmat{ x_{11} & .. & x_{1n} \\ \vdots & ..&\vdots \\ x_{n1} & .. &x_{nn} } [/mm] = [mm] E_{ij}+..
[/mm]
Kannst du mir da nochmals helfen?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:06 So 19.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Also du willst nun eine Matrix $ [mm] X=\pmat{ x_{11} & .. & x_{1n} \\ \vdots & ..&\vdots \\ x_{n1} & .. &x_{nn} } [/mm] $ zusammensetzen.
Die Elemente außer den Diagonalelementen kriegst du leicht hin, nämlich durch [mm] \summe_{1\le i\not= j \le n}^{}x_{i,j}E_{i,j}. [/mm] Nun musst du noch die Diagonalelemente von X aus den anderen Basismatrizen [mm] E_i' [/mm] zusammensetzen.
Das geht genau so, du brauchst dann noch [mm] \summe_{i=1}^{n-1}x_{i,i}E_i'.
[/mm]
Insgesamt: [mm] X=\summe_{1\le i\not= j \le n}^{}x_{i,j}E_{i,j}+\summe_{i=1}^{n-1}x_{i,i}E_i'. [/mm] Du kannst das ja mal mit einer 3x3-Matrix durchprobieren, dann siehst du vielleicht besser, dass das funktioniert.
Ich hätte die Basismatrizen auch anders definieren können, z.B. als [mm] E_{i,j}=Matrix [/mm] mit einer 1 bei (i,j) falls $i [mm] \not= [/mm] j$ und [mm] E_{i,i}=Matrix [/mm] mit 1 bei (i,i) und -1 bei (n,n) für [mm] $1\le [/mm] i<n$ und [mm] E_{n,n}=0. [/mm] Dann könntest du auch einfach [mm] X=\summe_{1\le i,j \le n}^{}x_{i,j}E_{i,j} [/mm] schreiben.
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