Dimension Vektorräume < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:30 Fr 04.01.2008 | | Autor: | easy2311 |
| Aufgabe | | Beweisen Sie, isomorphe Vektorräume haben die selbe Dimension! |
Ich habe einen isomorphen, also linearen Vektorraum, zb f: V [mm] \rightarrow [/mm] W. Das bedeutet, dassdie Abb. f bijektiv, soit surjektiv und injektiv ist. Somit sind der Urbildraum und der Bildraum genau gleich, das bedeutet doch auch dass beide die gleiche Dimension haben. Aber wie zeige ich das mathematisch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:05 Fr 04.01.2008 | | Autor: | max3000 |
Dazu nimmst du folgende Dimensionsformel:
dim(V)=dim(Kern(f))+dim(Bild(f))
aus Injektiv folgt: dim(Kern(f))=0 (1)
aus Surjektiv folgt: dim(Bild(f))=dim(W) (2)
und damit hast du's auch schon.
Die Sätze (1) und (2) solltet ihr eigentlich schon in der Vorlesung gehabt haben. Wenn nicht, dann sind das die Sachen die du noch beweisen musst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:26 Fr 04.01.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Dazu nimmst du folgende Dimensionsformel:
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> dim(V)=dim(Kern(f))+dim(Bild(f))
>
> aus Injektiv folgt: dim(Kern(f))=0 (1)
> aus Surjektiv folgt: dim(Bild(f))=dim(W) (2)
>
> und damit hast du's auch schon.
Die Frage ist, ob er die Dimensionsformel schon hatte. Man kann aber auch einfach zeigen, dass Basen durch Isomorphismen wieder auf Basen abgebildet werden (falls die Aussage nicht eh schon vorkam), bzw. die beiden Aussagen ``injektive Homomorphismen bilden linear unabhaengige Systeme auf linear unabhaengige Systeme ab'' und ``surjektive Homomorphismen bilden Erzeugendensysteme auf Erzeugendensysteme ab'' (woraus sofort die obige Aussage folgt). Damit hat man dann auch sofort die Aussage da stehen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:14 Sa 05.01.2008 | | Autor: | easy2311 |
und wie zeige ich diese aussagen?
lg isa
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> und wie zeige ich diese aussagen?
> lg isa
Hallo,
das, was Du jetzt lieferst, finde ich extrem mager...
max3000 hat Dir einen Lösungsvorschlag gemacht, Felix zwei,
und wir wissen immer noch nicht, was Ihr in der VL hattet und was nicht.
Welche der Aussagen willst Du denn jetzt beweisen???
Ich sehe weder die Aussagen noch die Lösungsansätze ...
Ok - ich reg' mich langsam wieder ab.
Hast Du endlichdimensionale Vektorräume vorliegen?
Dann zeige folgendes:
Es sei f: [mm] V\to [/mm] W ein Isomorphismus, und es sei [mm] B:=(b_1, b_2, ...b_n) [/mm] eine Basis v. V.
Dann ist [mm] B':=(f(b_1), [/mm] ..., [mm] f(b_n)) [/mm] eine Basis v. W.
Gruß v. Angela
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