Dimension des Kerns < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:58 Di 06.12.2011 | | Autor: | Seb12 |
| Aufgabe | A [mm] \pmat{ 0 & 1 & 2 &1 &0 \\ 1 & 1&1 &2 & 1 \\ 1 & 1 &1 & 1 & 1 }
[/mm]
Bestimme die Dimension des Kerns von A |
Hi,
habe jetzt mit Gauss versucht so weit zu kommen wies nur geht.
Komme auf
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 &2 &1 \\ -1 & 0&1 &-1 & -1 \\ 1 & 0 &-1 & 0 & 1 }
[/mm]
Wie drücke ich nun den Kern aus ? Habe ich ne Nullzeile kann ich ja wenigstens einen Freiheitsgrad. Was mache ich nun ? Oder kann ich hier schon sagen das die Dimension = 3 ist ?
lg
Seb
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:18 Di 06.12.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> A [mm]\pmat{ 0 & 1 & 2 &1 &0 \\
1 & 1&1 &2 & 1 \\
1 & 1 &1 & 1 & 1 }[/mm]
>
> Bestimme die Dimension des Kerns von A
> Hi,
> habe jetzt mit Gauss versucht so weit zu kommen wies nur
> geht.
> Komme auf
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 &2 &1 \\
-1 & 0&1 &-1 & -1 \\
1 & 0 &-1 & 0 & 1 }[/mm]
es geht noch weiter. Du möchtest die Matrix ja auf Zeilen-Stufen-Form (ZSF) bringen, um leichter eine Aussage über den Kern treffen zu können. Und diese Matrix hilft dir noch nicht wirklich weiter. ![[]](/images/popup.gif) Hier kannst du die Matrix zum Beispiel einmal eingeben und zeigen lassen, wie man auf die ZSF
kommt. Das hilft dir vielleicht nachzuvollziehen, wie vorzugehen ist.
> Wie drücke ich nun den Kern aus ? Habe ich ne Nullzeile
> kann ich ja wenigstens einen Freiheitsgrad. Was mache ich
> nun ? Oder kann ich hier schon sagen das die Dimension = 3
> ist ?
Der Kern von A ist die folgende Menge: [mm]Kern(A)=\left \{ x\in\IR^5|Ax=0 \right \}[/mm]. Und die [mm]x\in\text{Kern(A)}[/mm] musst du ermitteln.
> lg
> Seb
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
Gruß
barsch
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:13 Mi 07.12.2011 | | Autor: | Seb12 |
Danke für die Antwort !
Stimmt, ich habe bei meiner Rechnung einige Schritte vergessen.
[mm] \pmat{ 1 & 0&-1&0&1 \\ 0 & 1 & 2 & 0 &0 \\ 0 & 0 &0 &1 &0 }
[/mm]
nun kann ich an Zeile 3 gut erkennen das x4=0 ist, durch die zweite Zeile bekomme ich x3=-1/2 , x2=-2
bleibt meine Zeile 1, x1 +1/2 +x5 =0
Ist also x1=x5 = -1/2 ?
lg
Seb
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Hallo Seb12,
> Danke für die Antwort !
> Stimmt, ich habe bei meiner Rechnung einige Schritte
> vergessen.
> [mm]\pmat{ 1 & 0&-1&0&1 \\ 0 & 1 & 2 & 0 &0 \\ 0 & 0 &0 &1 &0 }[/mm]
>
> nun kann ich an Zeile 3 gut erkennen das x4=0 ist, durch
> die zweite Zeile bekomme ich x3=-1/2 , x2=-2
>
Die Lösung [mm]x_{2}[/mm] ist von [mm]x_{3}[/mm] abhängig.
> bleibt meine Zeile 1, x1 +1/2 +x5 =0
> Ist also x1=x5 = -1/2 ?
>
Hier ebenfalls:
Die Lösung [mm]x_{1}[/mm] ist von [mm]x_{3}, \ x_{5}[/mm] abhängig.
>
> lg
> Seb
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:40 Mi 07.12.2011 | | Autor: | Seb12 |
Okay das ergibt Sinn. Nur wie drücke ich dies explizit als Kern aus ?
wenn x1 = x3 =x5 , x2=x3 , x4 = 1
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Hallo Seb12,
> Okay das ergibt Sinn. Nur wie drücke ich dies explizit als
> Kern aus ?
> wenn x1 = x3 =x5 , x2=x3 , x4 = 1
>
Wird für [mm]x_{3}=s, \ x_{5}=t[/mm] gewählt., dann ist
Nun, [mm]x_{1}=\alpha*s+\beta*t, \ x_{2}=\gamma*s, \ x_{3}=s, \ x_{4}=0, \ x_{5}=t[/mm]
Oder in etwas kompakterer Form:
[mm]\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5}}=s*\pmat{\alpha \\ \gamma \\ 1 \\ 0 \\ 0}+t*\pmat{\beta \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
Damit ist die Dimension des Kerns ... .
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:52 Mi 07.12.2011 | | Autor: | Seb12 |
=2 aufgrund der 2 unabhängigen
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> =2 aufgrund der 2 unabhängigen
Hallo,
unabhängigen was? Katzen, Mäuse, Nikoläuse?
Man sieht, daß der Kern erzeugt wird von 2 linear unabhängigen Vektoren, also ist dimKernA=2.
Gruß v. Angela
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