matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare AbbildungenDimension des Kerns bestimmen
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Lineare Abbildungen" - Dimension des Kerns bestimmen
Dimension des Kerns bestimmen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Abbildungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Dimension des Kerns bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:44 Sa 11.06.2011
Autor: Mandy_90

Aufgabe
Seien K ein Körper, n [mm] \in \IN [/mm] und [mm] V=M_{n}(K). [/mm] Sei [mm] f(*)^{T} \otimes (*)^{T} \in End_{K}(V \otimes [/mm] V), d.h. f(A [mm] \otimes B)=A^{T} \otimes B^{T} [/mm] für alle A,B [mm] \in M_{n}(K). [/mm] Man bestimme Ker f, dim (ker f) und dim (Bild f).

Guten Abend,

ich habe den Kern bestimmt, aber auf die Dimension des Kerns komme ich nicht.

Sei [mm] E_{ij} [/mm] die Matrix mit einer 1 an der ij-ten Stelle und Nullen sonst.
Eine Basis von V [mm] \otimes [/mm] V lautet [mm] B=\{E_{ij} \otimes E_{kl}|i,j,k,l=1,...,n\}. [/mm] Dann ist

[mm] f(\summe_{}^{} a_{i,j,k,l}*E_{ij} \otimes E_{kl})=\summe_{}^{}a_{i,j,k,l}*f(E_{ij} \otimes E_{kl)}=\summe_{}^{}a_{i,j,k,l}*(E_{ij}^{T} \otimes E_{kl)^{T}} [/mm] und das ist =0 genau dann wenn [mm] a_{ijkl}=0. [/mm] DAs heißt es ist

[mm] ker(f)=span\{E_{ji} \otimes E_{lk}\}. [/mm]

Den Kern hab ich also, aber wie komme ich auf die Dimension?
Ich hatte gedacht, dass vielleicht dim [mm] ker(f)=n^{4} [/mm] ist, da i,j,k,l von 1,...,n laufen,aber ich denke das dürfte etwas komplizierter sein.
Die Dimension des Bildes könnte ich dann einfach mit Dimensionssatz ausrechnen: dim V=n=dim ker (f)+dim Bild (f).

Vielen Dank
lg

        
Bezug
Dimension des Kerns bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:14 So 12.06.2011
Autor: rainerS

Hallo!

> Seien K ein Körper, n [mm]\in \IN[/mm] und [mm]V=M_{n}(K).[/mm] Sei [mm]f=(*)^{T} \otimes (*)^{T} \in End_{K}(V \otimes[/mm]
> V), d.h. f(A [mm]\otimes B)=A^{T} \otimes B^{T}[/mm] für alle A,B
> [mm]\in M_{n}(K).[/mm] Man bestimme Ker f, dim (ker f) und dim (Bild
> f).
>  Guten Abend,
>
> ich habe den Kern bestimmt, aber auf die Dimension des
> Kerns komme ich nicht.
>  
> Sei [mm]E_{ij}[/mm] die Matrix mit einer 1 an der ij-ten Stelle und
> Nullen sonst.
>  Eine Basis von V [mm]\otimes[/mm] V lautet [mm]B=\{E_{ij} \otimes E_{kl}|i,j,k,l=1,...,n\}.[/mm]
> Dann ist
>
> [mm]f(\summe_{}^{} a_{i,j,k,l}*E_{ij} \otimes E_{kl})=\summe_{}^{}a_{i,j,k,l}*f(E_{ij} \otimes E_{kl)}=\summe_{}^{}a_{i,j,k,l}*(E_{ij}^{T} \otimes E_{kl)^{T}}[/mm]
> und das ist =0 genau dann wenn [mm]a_{ijkl}=0.[/mm]

Aber nur wenn das für alle möglichen Werte von i,j,k,l gilt (weil auch die transponierten Matrizen [mm] $E_{ji} \otimes E_{lk}$ [/mm] eine Basis bilden), also nur wenn

  [mm]\summe_{}^{} a_{i,j,k,l}*E_{ij} \otimes E_{kl} = 0 [/mm]

(Du kannst dir auch überlegen, dass f injektiv ist.)

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                
Bezug
Dimension des Kerns bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:55 So 12.06.2011
Autor: Mandy_90

Hallo rainerS,

> > Dann ist
> >
> > [mm]f(\summe_{}^{} a_{i,j,k,l}*E_{ij} \otimes E_{kl})=\summe_{}^{}a_{i,j,k,l}*f(E_{ij} \otimes E_{kl)}=\summe_{}^{}a_{i,j,k,l}*(E_{ij}^{T} \otimes E_{kl)^{T}}[/mm]
> > und das ist =0 genau dann wenn [mm]a_{ijkl}=0.[/mm]
>
> Aber nur wenn das für alle möglichen Werte von i,j,k,l
> gilt (weil auch die transponierten Matrizen [mm]E_{ji} \otimes E_{lk}[/mm]
> eine Basis bilden), also nur wenn
>  
> [mm]\summe_{}^{} a_{i,j,k,l}*E_{ij} \otimes E_{kl} = 0[/mm]

Ja stimmt.

> (Du kannst dir auch überlegen, dass f injektiv ist.)

Ich würde sagen, f ist injektiv, da die [mm] a_{i,j,k,l}=0 [/mm] sind. Aber wenn f injektiv ist der Kern 0 [mm] \otimes [/mm] 0, wobei 0 die Nullmatrix ist. Das heißt dim ker(f)=0 und somit dim Bild(f)=n ?

Vielen Dank
lg

Bezug
                        
Bezug
Dimension des Kerns bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:35 Mo 13.06.2011
Autor: rainerS

Hallo!

> Hallo rainerS,
>  
> > > Dann ist
> > >
> > > [mm]f(\summe_{}^{} a_{i,j,k,l}*E_{ij} \otimes E_{kl})=\summe_{}^{}a_{i,j,k,l}*f(E_{ij} \otimes E_{kl)}=\summe_{}^{}a_{i,j,k,l}*(E_{ij}^{T} \otimes E_{kl)^{T}}[/mm]
> > > und das ist =0 genau dann wenn [mm]a_{ijkl}=0.[/mm]
> >
> > Aber nur wenn das für alle möglichen Werte von i,j,k,l
> > gilt (weil auch die transponierten Matrizen [mm]E_{ji} \otimes E_{lk}[/mm]
> > eine Basis bilden), also nur wenn
>  >  
> > [mm]\summe_{}^{} a_{i,j,k,l}*E_{ij} \otimes E_{kl} = 0[/mm]
>  
> Ja stimmt.
>  > (Du kannst dir auch überlegen, dass f injektiv ist.)

>  
> Ich würde sagen, f ist injektiv, da die [mm]a_{i,j,k,l}=0[/mm]
> sind. Aber wenn f injektiv ist der Kern 0 [mm]\otimes[/mm] 0, wobei
> 0 die Nullmatrix ist. Das heißt dim ker(f)=0 und somit dim
> Bild(f)=n ?

Fast: [mm] $\dim \ker [/mm] f = 0$ und [mm] $\dim \mathop{\mathrm{Bild}} [/mm] f = [mm] \dim(V\otimes [/mm] V)$, was nicht n ist.

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                                
Bezug
Dimension des Kerns bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:01 Mo 13.06.2011
Autor: Mandy_90


> Fast: [mm]\dim \ker f = 0[/mm] und [mm]\dim \mathop{\mathrm{Bild}} f = \dim(V\otimes V)[/mm],
> was nicht n ist.

Ach stimmt, es ist dann dim [mm] Bild(f)=n^{2} [/mm] richtig?

Vielen Dank
lg

Bezug
                                        
Bezug
Dimension des Kerns bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:40 Di 14.06.2011
Autor: rainerS

Hallo!

>
> > Fast: [mm]\dim \ker f = 0[/mm] und [mm]\dim \mathop{\mathrm{Bild}} f = \dim(V\otimes V)[/mm],
> > was nicht n ist.
>  
> Ach stimmt, es ist dann dim [mm]Bild(f)=n^{2}[/mm] richtig?

Nein, denn [mm] $n^2$ [/mm] ist doch die Dimension von V, also ist die DImension von [mm] $V\otimes [/mm] V$ [mm] $n^4$. [/mm]

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
        
Bezug
Dimension des Kerns bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:17 So 12.06.2011
Autor: Mandy_90

Aufgabe
Gleiche Aufgabe mit [mm] f=id+(*)^{T} \otimes (*)^{T}, [/mm] d.h. f(A [mm] \otimes [/mm] B)=A [mm] \otimes B+A^{T} \otimes B^{T}. [/mm]

Hallo,

der Kern ist dann [mm] ker(f)={span}\{E_{ij} \otimes E_{kl}+E_{ji} \otimes E_{lk}\}. [/mm]

Außerdem muss gelten entweder 1) [mm] a_{ijkl}=0 [/mm] für alle ijkl oder 2) [mm] E_{ij} \otimes E_{kl}=-E_{ji} \otimes E_{lk}. [/mm]

Ich denke f ist nicht injektiv,aber wie krieg ich denn nun die Dimension raus?

Vielen Dank
lg


Bezug
                
Bezug
Dimension des Kerns bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:48 Mo 13.06.2011
Autor: rainerS

Hallo!

> Gleiche Aufgabe mit [mm]f=id+(*)^{T} \otimes (*)^{T},[/mm] d.h. f(A
> [mm]\otimes[/mm] B)=A [mm]\otimes B+A^{T} \otimes B^{T}.[/mm]
>  Hallo,
>  
> der Kern ist dann [mm]ker(f)={span}\{E_{ij} \otimes E_{kl}+E_{ji} \otimes E_{lk}\}.[/mm]

Nein, da hast du wieder den gleichen Fehler gemacht wie bei der ersten Aufgabe.

> Außerdem muss gelten entweder 1) [mm]a_{ijkl}=0[/mm] für alle ijkl
> oder 2) [mm]E_{ij} \otimes E_{kl}=-E_{ji} \otimes E_{lk}.[/mm]

Das ist schon näher dran, aber auch noch nicht richtig, denn du musst die Koeffizienten der Darstellungmatrix bezüglich deiner Basis ausrechnen. Hier hast du einfach diejenigen Basisvektoren verglichen, die den gleichen Koeffizienten [mm] $a_{ijkl}$ [/mm] zu haben scheinen. (Es ist übrigens [mm] $E_{ji}\not=E_{ij}$ [/mm] für [mm] $i\not=j$.) [/mm]

Du hast

[mm] 0 = \summe_{i,j,k,l} a_{ijkl} (E_{ij}\otimes E_{kl} + E_{ji}\otimes E_{lk}) [/mm] .

Ziehe die innere Summe auseinander:

[mm] 0 = \summe_{i,j,k,l} a_{ijkl}E_{ij}\otimes E_{kl} + \summe_{i,j,k,l}a_{ijkl} E_{ji}\otimes E_{lk} [/mm]

und vertausche in der zweiten Summe die Indizes i<->j und k<->l:

[mm] 0 = \summe_{i,j,k,l} a_{ijkl}E_{ij}\otimes E_{kl} + \summe_{i,j,k,l}a_{jilk} E_{ij}\otimes E_{lk} = \summe_{i,j,k,l} (a_{ijkl}+a_{jilk}) E_{ij}\otimes E_{kl} [/mm] .

Welche Bedingungen bekommst du also für die [mm] $a_{ijkl}$ [/mm] ?  Wieviele sind das? Daraus bekommst du die Dimension des Kerns.

Viele Grüße
   Rainer



Bezug
                        
Bezug
Dimension des Kerns bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:00 Mo 13.06.2011
Autor: Mandy_90

Hallo rainerS,

> und vertausche in der zweiten Summe die Indizes i<->j und
> k<->l:

Aber wieso darf ich denn einfach die indizes vertauschen, müsste ich das auch nicht in der ersten Summe machen?

> [mm]0 = \summe_{i,j,k,l} a_{ijkl}E_{ij}\otimes E_{kl} + \summe_{i,j,k,l}a_{jilk} E_{ij}\otimes E_{lk} = \summe_{i,j,k,l} (a_{ijkl}+a_{jilk}) E_{ij}\otimes E_{kl}[/mm]
> .
>  
> Welche Bedingungen bekommst du also für die [mm]a_{ijkl}[/mm] ?  
> Wieviele sind das? Daraus bekommst du die Dimension des
> Kerns.

Es muss gelten: [mm] a_{ijkl}=-a_{jilk}. [/mm]

Dann muss ja i=j und k=l sein, also [mm] n*n=n^{2} [/mm] Möglichkeiten. Das heißt dim [mm] ker(f)=n^{2} [/mm] ?

Vielen Dank
lg

Bezug
                                
Bezug
Dimension des Kerns bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:38 Di 14.06.2011
Autor: rainerS

Hallo!

> Hallo rainerS,
>  
> > und vertausche in der zweiten Summe die Indizes i<->j und
> > k<->l:
>  
> Aber wieso darf ich denn einfach die indizes vertauschen,
> müsste ich das auch nicht in der ersten Summe machen?

Nach dem Auseinanderziehen sind die beiden Summen unabhängig, daher kannst du jede der Summen getrennt umformen. Oder anders gesagt: du darfst das, weil du die ursprüngliche Summe in zwei unabhängigige Summen auseinanderziehen kannst.


>  
> > [mm]0 = \summe_{i,j,k,l} a_{ijkl}E_{ij}\otimes E_{kl} + \summe_{i,j,k,l}a_{jilk} E_{ij}\otimes E_{lk} = \summe_{i,j,k,l} (a_{ijkl}+a_{jilk}) E_{ij}\otimes E_{kl}[/mm]
> > .
>  >  
> > Welche Bedingungen bekommst du also für die [mm]a_{ijkl}[/mm] ?  
> > Wieviele sind das? Daraus bekommst du die Dimension des
> > Kerns.
>  
> Es muss gelten: [mm]a_{ijkl}=-a_{jilk}.[/mm]

Richtig, und zwar für beliebige Indizes i,j,k,l.

>  
> Dann muss ja i=j und k=l sein, also [mm]n*n=n^{2}[/mm]

Vorsicht.  Die Bedingung an die [mm] $a_{ijkl}$ [/mm] gilt auch für [mm] $i\not=j$ [/mm] oder [mm] $k\not=l$. [/mm]

Für i=j und k=l folgt sofort [mm] $a_{iikk} [/mm] = 0$.

Für i=j und [mm] $k\not=l$ [/mm] ist [mm] $a_{iikl} [/mm] = [mm] -a_{iilk}$, [/mm] analog für [mm] $i\not=j$ [/mm] und $k=l$.

Bleibt noch [mm] $i\not=j$ [/mm] und [mm] $k\not=l$. [/mm]

Du musst diese vier Fälle getrennt abzählen.

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Abbildungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 2h 32m 5. fred97
DiffGlPar/Existenz der Ableitung
Status vor 8h 48m 2. Staffan
UFina/Estimating the Value at Risk
Status vor 12h 57m 4. Gonozal_IX
UAnaR1FolgReih/Landau-Symbol (Big-O)
Status vor 1d 3h 08m 3. fred97
UAnaSon/Integrationsreihenfolge ∫∫
Status vor 1d 10h 02m 2. Gonozal_IX
SStochWkeit/WK einer Binomialv.
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]