Dimension des Lösungsraumes < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} [/mm] = 7
[mm] x_{1}+x_{2}+2*x_{3}+4*x_{4} [/mm] = 15
[mm] x_{3}+5*x_{4} [/mm] = 10
[mm] x_{1}+x_{2}+2*x_{3}+6*x_{4} [/mm] = 17
a) Bestimme die Lösung des Gleichungssystems!
b) Bestimme die Lösung des dazu korrespondierenden homogenen Systemes!
c) Welche Dimension hat der Lösungsraum von a) und welche Dimension hat der Lösungsraum von b) ? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Als Rang habe ich für die Koeffizientenmatrix 3 bestimmt, ebenso für die erweiterte Koeffizientenmatrix. Das bedeutet also, dass das System unendlich viele Lösungen hat.
Ich erhalte für a) als Ergebnis:
[mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}} [/mm] = [mm] \vektor{-13 \\ 0 \\ 5 \\ 1} [/mm] + [mm] \alpha [/mm] * [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Ich erhalte für b) als Ergebnis:
[mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \alpha [/mm] * [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Bei Frage c) bin ich mir nun nicht ganz sicher.
Ich habe gelesen, dass der Rang einer Matrix = die Dimension des Bildes der Matrix ist, da ich als Rang zuvor 3 gefunden habe, habe ich also angenommen, dass die Dimension des Bildes = 3 und daher die Dimension des Lösungsraumes = 3 ist.
Beim homogenen System habe ich gelesen, dass die Dimension des Lösungsraumes = der Dimension des Kernes ist, in diesem Fall wäre die Dimension des Kernes 1 und daher die Dimension des Lösungsraumes für das homogene System = 1.
Stimmen diese Annahmen? Vielen Dank im Voraus!
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> [mm]x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}[/mm] = 7
> [mm]x_{1}+x_{2}+2*x_{3}+4*x_{4}[/mm] = 15
> [mm]x_{3}+5*x_{4}[/mm] = 10
> [mm]x_{1}+x_{2}+2*x_{3}+6*x_{4}[/mm] = 17
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> a) Bestimme die Lösung des Gleichungssystems!
> b) Bestimme die Lösung des dazu korrespondierenden
> homogenen Systemes!
> c) Welche Dimension hat der Lösungsraum von a) und welche
> Dimension hat der Lösungsraum von b) ?
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Als Rang habe ich für die Koeffizientenmatrix 3 bestimmt,
> ebenso für die erweiterte Koeffizientenmatrix. Das
> bedeutet also, dass das System unendlich viele Lösungen
> hat.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Mein Rang ist anders als Deiner.
Falls Du bei erneuter Rechnung wieder Rang 3 bekommst, solltest Du mal vorrechnen.
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> Ich erhalte für a) als Ergebnis:
>
> [mm]\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}}[/mm] = [mm]\vektor{-13 \\ 0 \\ 5 \\ 1}[/mm]
> + [mm]\alpha[/mm] * [mm]\vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
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> Ich erhalte für b) als Ergebnis:
>
> [mm]\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> + [mm]\alpha[/mm] * [mm]\vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
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> Bei Frage c) bin ich mir nun nicht ganz sicher.
> Ich habe gelesen, dass der Rang einer Matrix = die
> Dimension des Bildes der Matrix ist, da ich als Rang zuvor
> 3 gefunden habe, habe ich also angenommen, dass die
> Dimension des Bildes = 3 und daher die Dimension des
> Lösungsraumes = 3 ist.
>
> Beim homogenen System habe ich gelesen, dass die Dimension
> des Lösungsraumes = der Dimension des Kernes ist, in
> diesem Fall wäre die Dimension des Kernes 1 und daher die
> Dimension des Lösungsraumes für das homogene System = 1.
Mal angenommen, Deine Rechnung wäre richtig.
Dann hätte in der Tat der Lösungsraum des homogenen Systems die Dimension 1 -
hat der Lösungsraum, den Du angibst, ja auch.
Und die Dimension des Lösungsraumes des inhomogenen Systems hat dieselbe Dimension wie die des homogenen.
(Nur ist der Lösungsraum des homogenen Systems ein Vektorraum, der des inhomogenen ein affiner Raum.)
LG Angela
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> Stimmen diese Annahmen? Vielen Dank im Voraus!
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Zuerst einmal vielen Dank für die Antwort. Die Dimension ist deswegen eins, weil ich einen Parameter habe?
Auf welchen Rang kommst du denn? Ich habe händisch mehrmals nachgerechnet, auch mit dem PC (Octave) erhalte ich den Rang 3.
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Hallo,
oh weh, ich hab mich vertan, enschuldige bitte.
Rang 3 ist richtig.
Der Rest sollte jetzt klar sein, oder gibt's noch Probleme?
LG Angela
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Also, wenn meine jetzige Annahme stimmt, dass Anzahl der Parameter = Dimension des Lösungsraumes, dann ist alles klar. Bitte um Bestätigung.
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Moin,
ja, das stimmt!
LG Angela
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