Dimension und Basis von Kern < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:57 Sa 19.03.2005 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
ich versteh die diese Aufgabe hier nicht. Ich hoffe, es kann mir jemand sie erklären.
Sei f: [mm] \IR^{4} \to \IR^{5} [/mm] gegeben durch A = [mm] \pmat{ 2 & 1 & -2 & 1 \\ 4 & 1 & -2 & -3 \\ 1 & -1 & 2 & -3 \\ 2 & 2 & -4 & -5 \\ 3 & 1 & -2 & 2 }
[/mm]
Man soll nun den Rang bestimmen.
Da hab ich die Matrix auf Zeilenstufenform gebracht und erhalte:
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 2 & -3 \\ 0 & 3 & -6 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0} [/mm]
Der Rang der Matrix ist 3, da drei Zeilen der Matrix ungleich 0 sind. Stimmt das? So erkennt man doch den Rang oder?
Dann soll ich die Dimension des Kern f bestimmen. Wie geht man da vor? Man sagte mir, dass die Dimension nach dem Kern-Bild-Satz ( dim kern + dim Bild= dim V) gleich 1 ist. Ich versteh aber nicht, wie man da drauf kommt. Kann man die Dimension des Kerns in der Matrix ablesen?
Da die Dimesion des Kerns gleich ist, besteht die Basis des Kerns nur aus einem Element. Wie kommt man auf dieses Basiselement?
Grundsätzlich: Ich hab keine Ahnung, wie man aus einer Matrix die Dimension des Kerns und des Bildes einer Abbildung bestimmen soll.
Danke für die Hilfe. Moe007
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Hallo.
> ich versteh die diese Aufgabe hier nicht. Ich hoffe, es
> kann mir jemand sie erklären.
> Sei f: [mm]\IR^{4} \to \IR^{5}[/mm] gegeben durch A = [mm]\pmat{ 2 & 1 & -2 & 1 \\ 4 & 1 & -2 & -3 \\ 1 & -1 & 2 & -3 \\ 2 & 2 & -4 & -5 \\ 3 & 1 & -2 & 2 }
[/mm]
>
> Man soll nun den Rang bestimmen.
> Da hab ich die Matrix auf Zeilenstufenform gebracht und
> erhalte:
>
> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 2 & -3 \\ 0 & 3 & -6 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> Der Rang der Matrix ist 3, da drei Zeilen der Matrix
> ungleich 0 sind. Stimmt das? So erkennt man doch den Rang
> oder?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Du mußt, um den Rang zu bestimmen, die Matrix mit Zeilen und Spaltenumformungen auf Normalform bringen, die Anzahl der 1en in deiner Matrix ist dann der Rang der Matrix.
EDIT: Sorry... das ist mir auch schon lange nicht mehr passiert... muß ich jetzt meinen LAAG-Schein wieder abgeben?!?!
War wohl nicht ganz bei der Sache gestern.
Natürlich gilt Zeilenrang=Spaltenrang, und das bedeutet natürlich auch, daß es genügt, die Matrix auf Zeilenstufenform zu bringen und die von 0 verschiedenen Zeilen abzuzählen, um den Rang zu bestimmen.
Peinlich, sowas... naja, die Ferien dauern wohl schon zu lang.
Sorry nochmal.
Liebe Grüße,
Christian
> Dann soll ich die Dimension des Kern f bestimmen. Wie geht
> man da vor? Man sagte mir, dass die Dimension nach dem
> Kern-Bild-Satz ( dim kern + dim Bild= dim V) gleich 1 ist.
> Ich versteh aber nicht, wie man da drauf kommt. Kann man
> die Dimension des Kerns in der Matrix ablesen?
> Da die Dimesion des Kerns gleich ist, besteht die Basis
> des Kerns nur aus einem Element. Wie kommt man auf dieses
> Basiselement?
>
> Grundsätzlich: Ich hab keine Ahnung, wie man aus einer
> Matrix die Dimension des Kerns und des Bildes einer
> Abbildung bestimmen soll.
Also: Nach Definition ist ja der Kern die Menge aller der Elemente, die auf 0 abgebildet werden.
Um den Kern deiner linearen Abbildungen zu bestimmen, mußt Du also das LGS [mm]f(x)=\pmat{ 2 & 1 & -2 & 1 \\ 4 & 1 & -2 & -3 \\ 1 & -1 & 2 & -3 \\ 2 & 2 & -4 & -5 \\ 3 & 1 & -2 & 2 }*\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm] lösen.
Hast Du das so weit verstanden?
Weitere Hilfe zum Thema findest Du auch hier.
Am besten liest Du dir das mal durch und versuchst das LGS oben zu lösen.
Sollten Probleme auftreten, kannst Du dich ja nochmal melden.
Gruß,
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:44 Sa 19.03.2005 | | Autor: | taura |
> > ich versteh die diese Aufgabe hier nicht. Ich hoffe, es
>
> > kann mir jemand sie erklären.
> > Sei f: [mm]\IR^{4} \to \IR^{5}[/mm] gegeben durch A = [mm]\pmat{ 2 & 1 & -2 & 1 \\ 4 & 1 & -2 & -3 \\ 1 & -1 & 2 & -3 \\ 2 & 2 & -4 & -5 \\ 3 & 1 & -2 & 2 }
[/mm]
>
> >
> > Man soll nun den Rang bestimmen.
> > Da hab ich die Matrix auf Zeilenstufenform gebracht und
>
> > erhalte:
> >
> > [mm]\pmat{ 1 & -1 & 2 & -3 \\ 0 & 3 & -6 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> >
> > Der Rang der Matrix ist 3, da drei Zeilen der Matrix
> > ungleich 0 sind. Stimmt das? So erkennt man doch den Rang
>
> > oder?
>
> Du mußt, um den Rang zu bestimmen, die Matrix mit
> Zeilen und Spaltenumformungen auf Normalform bringen, die
> Anzahl der 1en in deiner Matrix ist dann der Rang der
> Matrix.
Das stimmt doch garnicht, der Rang einer Matrix ist immer gleich dem Zeilen- und Spaltenrang und das ist die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen, die man erhält wenn man die Zeilenstufenform bildet. Was Moe gemacht hat ist also sehr wohl richtig.
>
> > Dann soll ich die Dimension des Kern f bestimmen. Wie
> geht
> > man da vor? Man sagte mir, dass die Dimension nach dem
>
> > Kern-Bild-Satz ( dim kern + dim Bild= dim V) gleich 1
> ist.
> > Ich versteh aber nicht, wie man da drauf kommt. Kann man
>
> > die Dimension des Kerns in der Matrix ablesen?
> > Da die Dimesion des Kerns gleich ist, besteht die Basis
>
> > des Kerns nur aus einem Element. Wie kommt man auf dieses
>
> > Basiselement?
> >
> > Grundsätzlich: Ich hab keine Ahnung, wie man aus einer
>
> > Matrix die Dimension des Kerns und des Bildes einer
> > Abbildung bestimmen soll.
>
> Also: Nach Definition ist ja der Kern die Menge aller der
> Elemente, die auf 0 abgebildet werden.
> Um den Kern deiner linearen Abbildungen zu bestimmen, mußt
> Du also das LGS [mm]f(x)=\pmat{ 2 & 1 & -2 & 1 \\ 4 & 1 & -2 & -3 \\ 1 & -1 & 2 & -3 \\ 2 & 2 & -4 & -5 \\ 3 & 1 & -2 & 2 }*\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> lösen.
Das ist doch viel zu kompliziert! Wenn man schon die Dimension des Bildes hat und auch die Dimension des Urbildraumes kennt (was hier ja beides der Fall ist), kann man über die Dimensionsformel (die Moe ja bereits erwähnt hat) doch ganz einfach die Dimension des Kerns berechnen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:04 Sa 19.03.2005 | | Autor: | Christian |
Es soll aber doch der gesamte Kern sowie eine Basis des Kerns bestimmt werden!
Und dann ist es sehrwohl notwendig, dieses LGS zu lösen, oder kannst Du mir auch nur eine Methode nennen, in der es nicht nötig wäre, mindestens ein LGS zu lösen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:11 Sa 19.03.2005 | | Autor: | taura |
Kein Grund gleich agressiv zu werden...
Du hast recht, um den Kern, bzw. die Basis des Kerns zu bestimmen muss man das Gleichungssystem lösen. Allerdings könntest du, Moe, in diesem Fall auch die Matrix verwenden, die schon auf ZSF gebracht ist, das ist erheblich einfacher, weil du sonst einige Schritte doppelt machen müsstest.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:25 So 20.03.2005 | | Autor: | taura |
Hi Marcel
Wir haben das schon zwischen uns geklärt, haben uns einfach gegenseitig falsch verstanden, ist also aus der Welt...
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:17 Sa 19.03.2005 | | Autor: | Moe007 |
Hallo Taura,
vielen Dank für deine Antwort. Wie lautet denn nun die Dimension von Bild und Kern der linearen Abbildung?
Kann man sagen, dass weil der Rang der Matrix gleich 3 ist, die Dimension von Bild f auch gleich 3 ist? Und kann man dann weiter schließen, wegen dim ker f + dim bild f = dim V, dass dim ker f = 1 ( wegen V = [mm] \IR^{4}) [/mm]
Ich glaube, dass der Rang einer Matrix auch die Dimension von Bild ist, bin mir aber sher unsicher.
Und wie bestimmt man nun die Basis von Kern f und Bild f?
Danke
Moe 007
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:37 Sa 19.03.2005 | | Autor: | taura |
Hi Moe!
Davon ausgehend, dass du dich nicht verrechnet hast, stimmt es, dass die Dimension des Bildes 3 ist. Und die Dimension des Kerns ist demnach genau nach dieser Formel gleich 1.
Die Basis vom Kern bestimmst du so, wie Christian es erklärt hat, allerdings, kannst du auch schon deine Matrix in ZSF verwenden, das ist einfacher. Und für die Basis des Bildes kannst du zum Beispiel eine Basis von [mm]V \backslash Kern(f)[/mm] unter f abbilden, dann erhälst du eine Basis des Bildes.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:45 So 20.03.2005 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
erstmal vielen dank an alle, die mir geholfen haben.
Ich hab das LGS gelöst und erhalte als Lösung (0,2,1,0) ( dabei hab ich die b-Spalte in der ZeilenstufenformMatrix Ax=b) gleich 0 gesetzt. Ist dann der Kern f = L(0,2,1,0)???
Und das mit der Basis von Bild f hab ich immer noch nicht verstanden.
Kannst du es mir bitte nochmal erklären? Was hat denn V für eine Basis und V/kern f? Ich bin mal davon ausgegangen ( bin mir aber total unsicher), dass die Basis von V= [mm] \IR^{4} [/mm] z.B. (1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0), (0,0,0,1) ist, aber ich komm dann nicht mehr weiter.
Danke für die Hilfe. Moe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:18 So 20.03.2005 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
ich hab ein bisschen nachgedacht. Es ist doch V/kerf = { x+kerf | x [mm] \in [/mm] V} = { x + L(0,2,1,0) | x [mm] \in \IR^{4}} [/mm] Dann wär doch die Dimension von V/kerf = 1 oder? weil das ist ja eine Gerade?!?
Dann wär die Basis z.B. (1,0,0,0) + L(0,2,1,0). Aber das kann nicht richtig sein, weil der Bildraum im [mm] \IR^{5} [/mm] liegt, aber meine Basis nur eindim. ist.
Ich hoffe, um Aufklärung
Moe 007
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:10 So 20.03.2005 | | Autor: | taura |
Hi Moe!
> Dann wär doch die Dimension von V/kerf = 1 oder? weil das ist ja
> eine Gerade?!?
Das stimmt so nicht ganz, die Dimension ist 3, denn die Dimension von V ist 4 und die von Kern(f) ist 1. Das kannst du dir über den Basisergänzungssatz herleiten: Du hast einen Basis von Kern(f), nämlich dein (0,2,1,0) (hab ich übrigens nicht nachgerechnet, aber multipliziere den doch einfach an deine gegebene Matrix dran und wenn dann der Nullverktor rauskommt, ist es richtig). Diese Basis kannst du nun zu einer Basis von V ergänzen indem du 3 weitere jeweils paarweise lin. unabh. Vektoren aus V suchst, die alle lin. unabh. von (0,2,1,0) sind. Diese 3 Vektoren sind dann eine Basis von [mm]V\backslash Kern(f)[/mm]. Wenn du diese unter f abbildest, erhälst du wiederum 3 paarweise lin. unabh. Vektoren, die eine Basis von Bild(f) bilden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:04 So 20.03.2005 | | Autor: | Moe007 |
Hallo taura,
danke für deine Hilfe!!! Ich hab mai deine Anweisungen befolgt und bin zu diesem Ergebnis gekommen:
Als Basis von V hab ich gewählt: (0,2,1,0), (1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0)
Diese Vektoren sind doch alle paarweise lin.unabh. oder?
Dann ist eine Basis von V/kerf also (1,0,0,0) + ker f = (1,2,1,0), (0,1,0,0) + ker f = (0,3,1,0), (0,0,1,0) + ker f = (0,2,2,0)
Richtig so?
f ist leider nur so gegeben f: [mm] \IR^{4} \to \IR^{5}. [/mm] Wie soll ich dann die Basis von V/ker f abbilden unter f?
Ist dann f(1,2,1,0), f(0,3,1,0), f(0,2,2,0) eine Basis von Bild f?
Ich hab noch eine Frage. Die Dimension von Bild f ist doch 3. Kann man also sagen dass Bild f Teilmenge von [mm] \IR^{5} [/mm] ist? [mm] \IR^{5} [/mm] ist doch der Bildraum oder?
Danke Moe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:32 Mo 21.03.2005 | | Autor: | Hexe |
Also zuerst mal sind deine Vektoren leider nicht ganz richtig, da 2* der dritte + der vierte den ersten ergeben( es reicht nicht paarweise unabhängig sondern sie müssen insgesamt unabhängig sein) also ersetzte den dritten oder vierten durch (0,0,0,1) Dann kannst du weiter die Basis von V/ker f bestimmen wie du meintest und die Basis des Bildraumes erhälst du über Av=f(v) Die Matrix ist die Abbildungsvorschrift, die du übersehen hast. Wenn du also einen Vektor von rechts an die Matrix hinmultiplizierst bildest du ihn über f ab.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:14 Mo 21.03.2005 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
ich hoffe mal, dass ich jetzt endlich die Lösung hab. 
Also Basis von Kern f = L(0,2,1,0)
Als Basis von V hab ich nun gewählt : (0,2,1,0), (1,0,0,0), (0,0,0,1), (0,0,1,0)
Diese Vektoren sind alle untereinander und paarweise lin. unabh.
Als Basis von V/kern f hab ich einfach die Einheitsvektoren mit dem Basisvektor von Kern f addiert.
(1,0,0,0) + (0,2,1,0) = (1,2,1,0)
(0,0,0,1) + (0,2,1,0) = (0,2,1,1)
(0,0,1,0) + (0,2,1,0) = (0,2,2,0)
Diese 3 lin. unahb. Vektoren bilden eine Basis von V/kernf
Dann hab ich diese Basis unter f abgebildet wie Hexe es gesagt hat
f(v) = Av und erhalte:
f(v1) = [mm] \vektor{2 \\ 4 \\ 1 \\ 2 \\ 3}
[/mm]
f(v2) = [mm] \vektor{1 \\ -3 \\ -3 \\ -5 \\ 2}
[/mm]
f(v3) = [mm] \vektor{0 \\ -2 \\ 2 \\ -4 \\ -2}
[/mm]
Diese 3 lin. unabh. Vektoren bilden eine Basis von Bild (f). Bild(f) hat dim = 3.
Ist das jetzt richtig so??
Ich hoffe doch. War zumindest eine schwere Geburt. Aber wenn man sich so blöd anstellt *hihi*
Moe007
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:14 Di 22.03.2005 | | Autor: | Hexe |
> Hallo,
> ich hoffe mal, dass ich jetzt endlich die Lösung hab.
>
> Also Basis von Kern f = L(0,2,1,0)
>
> Als Basis von V hab ich nun gewählt : (0,2,1,0), (1,0,0,0),
> (0,0,0,1), (0,0,1,0)
> Diese Vektoren sind alle untereinander und paarweise lin.
> unabh.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Als Basis von V/kern f hab ich einfach die Einheitsvektoren
> mit dem Basisvektor von Kern f addiert.
> (1,0,0,0) + (0,2,1,0) = (1,2,1,0)
> (0,0,0,1) + (0,2,1,0) = (0,2,1,1)
> (0,0,1,0) + (0,2,1,0) = (0,2,2,0)
> Diese 3 lin. unahb. Vektoren bilden eine Basis von
> V/kernf
> Dann hab ich diese Basis unter f abgebildet wie Hexe es
> gesagt hat
> f(v) = Av und erhalte:
> f(v1) = [mm]\vektor{2 \\ 4 \\ 1 \\ 2 \\ 3}
[/mm]
> f(v2) =
> [mm]\vektor{1 \\ -3 \\ -3 \\ -5 \\ 2}
[/mm]
> f(v3) = [mm]\vektor{0 \\ -2 \\ 2 \\ -4 \\ -2}
[/mm]
Da hast du dich verrechnet die erste Komponente heißt auch -2
> Diese 3 lin. unabh. Vektoren bilden eine Basis von Bild
> (f). Bild(f) hat dim = 3.
>
> Ist das jetzt richtig so??
![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
> Ich hoffe doch. War zumindest eine schwere Geburt. Aber
> wenn man sich so blöd anstellt *hihi*
> Moe007
Das kenn ich gut
Grüße Hexe
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![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]"){kind=small}
? Wer war denn hier aggressiv? Christian hat dir in einem ähnlichen Ton eine Mitteilung geschrieben, wie du vorher ihm eine geschrieben hast. Ich denke, keiner von euch beiden wollte dabei in irgendeiner Weise "aggressiv" wirken. Naja, vergesst einfach mal weder die Begrüßung noch die Verabschiedung, dann kommt es auch weniger "aggressiv" rüber 
!
