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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Dimension vom Kern/Bild
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Dimension vom Kern/Bild: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:35 So 04.12.2016
Autor: asg

Aufgabe
$A = [mm] \pmat{ 11 & 53 & 71 \\ -1 & 97 & 37 }$ [/mm] $B = [mm] \pmat{ 2 & -6 & 14 \\ -1 & 3 & -7 }$ [/mm]

Bestimmen Sie die Dimensionen der Kerne und Bilder der Matrizen $A$ und $B$.

Hallo zusammen,

bei dieser Aufgabe bin ich mir sehr unsicher, wie ich vorgehen soll :(

In Wikipedia habe ich folgendes gefunden:

$rang(f) = dim(Bild(f))$
Weiter steht dort: Rang einer Matrix ist die Anzahl an Zeilen der Matrix, die nach Gauss-Verfahren keine Nullen sind.

Im Skript steht es:
Sei $A [mm] \in \IR^{mxn}$ [/mm] dann gilt $dim(Kern(A)) + dim(Bild(A)) = n$

Nun meine Fragen:

1. Im Skript finde ich nichts zum Rang. Gibt es einen alternativen Weg?

2. $A$ und $B$ haben Rang 2. Also:
$dim(Bild(A)) = 2$
$dim(Bild(B)) = 2$

Wenn ich dies in die Formel einsetze:

$dim(Kern(A)) + 2 = 3$
$dim(Kern(A)) = 1$

$dim(Kern(B)) + 2 = 3$
$dim(Kern(B)) = 1$

Ist es denn überhaupt richtig?

Ich würde mich über jeden Tipp und Hinweis freuen.

Danke vorab

Liebe Grüße

Asg

        
Bezug
Dimension vom Kern/Bild: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:51 So 04.12.2016
Autor: Helbig

Hallo Asg,

diese Aufgabe kannst und musst Du wohl ohne den Begriff des Rangs loesen. Das heisst, bestimme die Dimension des Bildes oder des Kerns mit Methoden aus der Vorlesung. Und dann wende die Dimensionsformel an, um die Dimension des Kerns bzw. des Bildes zu ermitteln.

Viel Erfolg,
Wolfgang

Bezug
                
Bezug
Dimension vom Kern/Bild: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:52 So 04.12.2016
Autor: asg

Hallo Wolfgang,

danke für die Antwort.

Leider finde ich nichts im Skript dazu ...

Im Skript steht nur der Dimensionssatz:
Für eine Matrix $A [mm] \in \IR^{m \times n}$ [/mm] gilt:

$Kern(A) := [mm] \{ x \in \IR^n : A \cdot x = 0 \}$ [/mm] und $Bild(A) := [mm] \{ A \cdot x : x \in \IR^n\}$ [/mm]

Wenn ich das Bild für $A$ berechne, kommt folgendes raus:
[mm] $\pmat{ 11 & 53 & 71 \\ -1 & 97 & 37} \cdot \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} [/mm] = [mm] \vektor{11 \cdot x_1 + 53 \cdot x_2 + 71 \cdot x_3 \\ -1 \cdot x_1 + 97 \cdot x_2 + 37 \cdot x_3} [/mm] = [mm] x_1 \cdot \vektor{11 \\ -1} [/mm] + [mm] x_2 \cdot \vektor{53 \\ 97} [/mm] + [mm] x_3 \cdot \vektor{71 \\ 37}$ [/mm]

Ich weiss, dass der Vektor [mm] $\vektor{71 \\ 37}$ [/mm] eine linear Kombination von den ersten beiden Vektoren ist (ermittelt per Gauß-Verfahren). Somit habe ich zwei linear unabhängige Vektoren im Bild:

$Bild(A) = [mm] \{\mu_1 \cdot \vektor{11 \\ -1} + \mu_2 \cdot \vektor{53 \\ 97} : \mu_1, \mu_2 \in \IR\}$ [/mm]

Die Vektoren [mm] $\vektor{11 \\ -1}$ [/mm] und [mm] $\vektor{53 \\ 97}$ [/mm] bilden ja eine Basis des Bildes, da die Basis aus zwei Vektoren besteht, ist $dim(Bild(A)) = 2$

Für den Kern gehe ich analog vor:

$Kern(A) := [mm] \{ \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} \in \IR^3 : \pmat{ 11 & 53 & 71 \\ -1 & 97 & 37} \cdot \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} = 0 \}$ [/mm]

Nach Anwenden vom Gauß-Verfahren erhalte ich:

$Kern(A) := [mm] \{\mu \cdot \vektor{-27093/6160 \\ -239/560 \\ 1} : \mu \in \IR \}$ [/mm]

Wäre hier $dim(Kern(A)) = 1$ weil es ein Vektor im Kern gibt?

$dim(Kern(A))$ hätte ich ja einfacher durch die Formel $dim(Kern(A)) + dim(Bild(A)) = n$ ermitteln können, oder ?

Für $B = [mm] \pmat{ 2 & -6 & 14 \\ -1 & 3 & -7}$ [/mm] erhalte ich:
$Bild(B) = [mm] \{\mu \cdot \vektor{2 \\ -1} : \mu \in \IR\}$ [/mm]
$dim(Bild(B)) = 1$
$dim(Kern(B)) = 2$


Ist es denn so korrekt?

Danke!

Bezug
                        
Bezug
Dimension vom Kern/Bild: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:24 Mo 05.12.2016
Autor: angela.h.b.


> Hallo Wolfgang,

>

> danke für die Antwort.

>

> Leider finde ich nichts im Skript dazu ...

>

> Im Skript steht nur der Dimensionssatz:
> Für eine Matrix [mm]A \in \IR^{m \times n}[/mm] gilt:

>

> [mm]Kern(A) := \{ x \in \IR^n : A \cdot x = 0 \}[/mm] und [mm]Bild(A) := \{ A \cdot x : x \in \IR^n\}[/mm]

>

> Wenn ich das Bild für [mm]A[/mm] berechne, kommt folgendes raus:
> [mm]\pmat{ 11 & 53 & 71 \\ -1 & 97 & 37} \cdot \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} = \vektor{11 \cdot x_1 + 53 \cdot x_2 + 71 \cdot x_3 \\ -1 \cdot x_1 + 97 \cdot x_2 + 37 \cdot x_3} = x_1 \cdot \vektor{11 \\ -1} + x_2 \cdot \vektor{53 \\ 97} + x_3 \cdot \vektor{71 \\ 37}[/mm]

>

> Ich weiss, dass der Vektor [mm]\vektor{71 \\ 37}[/mm] eine linear
> Kombination von den ersten beiden Vektoren ist (ermittelt
> per Gauß-Verfahren). Somit habe ich zwei linear
> unabhängige Vektoren im Bild:

>

> [mm]Bild(A) = \{\mu_1 \cdot \vektor{11 \\ -1} + \mu_2 \cdot \vektor{53 \\ 97} : \mu_1, \mu_2 \in \IR\}[/mm]


Hallo,
>

> Die Vektoren [mm]\vektor{11 \\ -1}[/mm] und [mm]%5Cvektor%7B53%20%5C%5C%2097%7D[/mm]

sind offensichtlich linear unabhängig und

> bilden
> ja eine Basis des Bildes,

>da die Basis aus zwei Vektoren

> besteht, ist [mm]dim(Bild(A)) = 2[/mm]

Ja.


>

> Für den Kern gehe ich analog vor:

>

> [mm]Kern(A) := \{ \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} \in \IR^3 : \pmat{ 11 & 53 & 71 \\ -1 & 97 & 37} \cdot \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} = 0 \}[/mm]

>

> Nach Anwenden vom Gauß-Verfahren erhalte ich:

>

> [mm]Kern(A) := \{\mu \cdot \vektor{-27093/6160 \\ -239/560 \\ 1} : \mu \in \IR \}[/mm]

Den Lösungsvektor habe ich nicht nachgerechnet,

>

> Wäre hier [mm]dim(Kern(A)) = 1[/mm]

Ja.


>weil es ein Vektor im Kern

> gibt?

Im Kern sind unendlich viele Vektoren - aber der Kern wird von dem einen linear unabhängigen Vektor erzeugt.
Also bestet die Basis des Kern aus einem Vektor und at damit die Dimension 1.

>

> [mm]dim(Kern(A))[/mm] hätte ich ja einfacher durch die Formel
> [mm]dim(Kern(A)) + dim(Bild(A)) = n[/mm] ermitteln können, oder ?


Ja, wenn nicht die Angabe des Kerns gefordert ist, sondern nur die Dimension, würde man das so machen.

>

> Für [mm]B = \pmat{ 2 & -6 & 14 \\ -1 & 3 & -7}[/mm] erhalte ich:
> [mm]Bild(B) = \{\mu \cdot \vektor{2 \\ -1} : \mu \in \IR\}[/mm]

>

> [mm]dim(Bild(B)) = 1[/mm]
> [mm]dim(Kern(B))%20%3D%202[/mm]

>
>

> Ist es denn so korrekt?

Ja.

LG Angela
>

> Danke!

>

Bezug
                                
Bezug
Dimension vom Kern/Bild: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:46 Mo 05.12.2016
Autor: asg

Hallo Angela,

Dankeschön für die schnelle Hilfe wie immer :)

>  > Ich weiss, dass der Vektor [mm]\vektor{71 \\ 37}[/mm] eine linear

>  > Kombination von den ersten beiden Vektoren ist (ermittelt

>  > per Gauß-Verfahren). Somit habe ich zwei linear unabhängige Vektoren im Bild:

>  >
>  > [mm]Bild(A) = \{\mu_1 \cdot \vektor{11 \\ -1} + \mu_2 \cdot \vektor{53 \\ 97} : \mu_1, \mu_2 \in \IR\}[/mm]

> Die Vektoren [mm]\vektor{11 \\ -1}[/mm] und [mm]\vektor{53 \\ 97}[/mm]
>  
> sind offensichtlich linear unabhängig und

Für mich war es nicht offensichtlich. Ich habe es raus bekommen, indem ich das Gauß-Verfahren angewendet habe und anschließend habe ich die linear unabhängigen Spalten mit Hilfe der sog. "Köpfe" bestimmt (Wie es hier unter 3. Verfahren erklärt ist http://www.mathebibel.de/bild-einer-matrix)

Gibt es einen einfacheren Weg, die Unabhängigkeit sofort zu erkennen?

> >weil es ein Vektor im Kern
>  > gibt?

>  
> Im Kern sind unendlich viele Vektoren - aber der Kern wird
> von dem einen linear unabhängigen Vektor erzeugt.
>  Also bestet die Basis des Kern aus einem Vektor und at
> damit die Dimension 1.
>  

Ja stimmt, das habe ich übersehen.

Liebe Grüße

Asg

Bezug
                                        
Bezug
Dimension vom Kern/Bild: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:29 Mo 05.12.2016
Autor: angela.h.b.


> Hallo Angela,

>

> Dankeschön für die schnelle Hilfe wie immer :)

>

> > > Ich weiss, dass der Vektor [mm]\vektor{71 \\ 37}[/mm] eine
> linear
> > > Kombination von den ersten beiden Vektoren ist
> (ermittelt
> > > per Gauß-Verfahren). Somit habe ich zwei linear
> unabhängige Vektoren im Bild:
> > >
> > > [mm]Bild(A) = \{\mu_1 \cdot \vektor{11 \\ -1} + \mu_2 \cdot \vektor{53 \\ 97} : \mu_1, \mu_2 \in \IR\}[/mm]

>

> > Die Vektoren [mm]\vektor{11 \\ -1}[/mm] und [mm]%5Cvektor%7B53%20%5C%5C%2097%7D[/mm]
> >
> > sind offensichtlich linear unabhängig und

>

> Für mich war es nicht offensichtlich. Ich habe es raus
> bekommen, indem ich das Gauß-Verfahren angewendet habe

Hallo,

das ist doch vernünftig.


> und
> anschließend habe ich die linear unabhängigen Spalten mit
> Hilfe der sog. "Köpfe" bestimmt (Wie es hier unter 3.
> Verfahren erklärt ist
> http://www.mathebibel.de/bild-einer-matrix)

>

> Gibt es einen einfacheren Weg, die Unabhängigkeit sofort
> zu erkennen?

Ich meinte, daß die beiden verbleibenden "offensichtlich" linear unabhängig sind, weil sie ja keine Vielfachen voneinander sind. Bei nur zwei Vektoren ist es einfach zu sehen, sonst normalerweise nicht.

LG Angela
>

> > >weil es ein Vektor im Kern
> > > gibt?
> >
> > Im Kern sind unendlich viele Vektoren - aber der Kern wird
> > von dem einen linear unabhängigen Vektor erzeugt.
> > Also bestet die Basis des Kern aus einem Vektor und at
> > damit die Dimension 1.
> >

>

> Ja stimmt, das habe ich übersehen.

>

> Liebe Grüße

>

> Asg


Bezug
                                                
Bezug
Dimension vom Kern/Bild: Danke!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:19 Di 06.12.2016
Autor: asg

Hallo Angela,

Dankeschön für deine Hilfe.

Nun ist es mir klar geworden und bin beruhigt :)

Liebe Grüße

Asg

Bezug
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