Dimension von Basen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:05 Mo 14.01.2013 | | Autor: | lopdeer |
| Aufgabe | Seien U und V Unterräume des [mm] \IR^1^2 [/mm] mit [mm] dim\ U=6 [/mm] und [mm] dim\ V=7 [/mm] und Basen [mm] \vec a_1, ... , \vec a_6\ von\ U[/mm] und [mm] \vec b_1, ... , \vec b_7\ von\ V[/mm].
Welche Werte kann
[mm] dim\ span \left( \vec a_1, ... , \vec a_6, \vec b_1, ... , \vec b_7\right)[/mm]
annehmen(mit Begründung) ? Geben sie für jeden Fall explizit ein Beispiel an (z.B. durch Angabe geeigneter [mm] \vec a_j [/mm] und [mm] \vec b_j [/mm])! |
Hallo,
Ich bin neu hier im Forum hoffe aber trotzdem Hilfe zu bekommen.
Ich muss die oben stehende Aufgabe in meiner Übungsgruppe vorstellen und auch erklären. Meinem Tutor zufolge soll die Aufgabe sehr kurz und einfach sein, leider verstehe ich es trotzdem nicht wirklich.
Soll ich mir jetzt einfach einen [mm] dim\ span [/mm] Wert aussuchen und Beispiele nennen. Was mit den Fällen gemeint ist verstehe ich auch nicht. Woher weis man wie viele Fälle es gibt ?
Es tut mir leid falls die Darstellung nicht in Ordnung ist. Ich benutze das erste mal diese Schreibweise.
Vielen Dank im Voraus.
Gruß Artur.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Seien U und V Unterräume des [mm]\IR^1^2[/mm] mit [mm]dim\ U=6[/mm] und [mm]dim\ V=7[/mm]
> und Basen [mm]\vec a_1, ... , \vec a_6\ von\ U[/mm] und [mm]\vec b_1, ... , \vec b_7\ von\ V[/mm].
>
> Welche Werte kann
>
> [mm]dim\ span \left( \vec a_1, ... , \vec a_6, \vec b_1, ... , \vec b_7\right)[/mm]
>
> annehmen(mit Begründung) ? Geben sie für jeden Fall
> explizit ein Beispiel an (z.B. durch Angabe geeigneter [mm]\vec a_j[/mm]
> und [mm]\vec b_j [/mm])!
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Hier kommt die Dimensionsformel zum Einsatz, welche etwas über die Dimensionen von Summe und Schnitt von Untervektorräumen erzählt.
Es gilt:
[mm] \dim \left( U + V \right) [/mm] = [mm] \dim [/mm] U + [mm] \dim [/mm] V - [mm] \dim \left( U \cap V \right).
[/mm]
U+V ist ja gerade der Raum, der von [mm] \vec a_1, [/mm] ... , [mm] \vec a_6, \vec b_1, [/mm] ... , [mm] \vec b_7 [/mm] erzeugt wird, also U+V=span( [mm] \vec a_1, [/mm] ... , [mm] \vec a_6, \vec b_1, [/mm] ... , [mm] \vec b_7).
[/mm]
So.
Nun mußt Du mal überlegen, welche Dimensionen der Schnitt von U und V haben kann, wenn es Unterräume eines 12-dimensionalen Raumes sind.
Kann der Schnitt nulldimensional sein? Welche Dimension hätte dann der Span? Kann das sein?
Soweit fürs erste. Schauen wir mal, was Du damit machst.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:58 Mo 14.01.2013 | | Autor: | lopdeer |
[mm] dim \IR^1^2 =12 [/mm] oder?
Da V ein Unterraum davon ist, ist [mm] dim\,span=7 [/mm] doch der erste mögliche Fall?.
Heißt das es gibt 6 Fälle von [mm] dim\,span=7 [/mm] bis [mm] dim\,span=12 [/mm].
Stimmt es dann dass, bei [mm] dim\,span=7 [/mm] :
[mm] a_1=b_1=c_1 [/mm]
[mm] a_2=b_2=c_2 [/mm]
[mm] a_3=b_3=c_3 [/mm]
[mm] a_4=b_4=c_4 [/mm]
[mm] a_5=b_5=c_5 [/mm]
[mm] a_6=b_6=c_6 [/mm]
[mm] b_7=c_7 [/mm]
Daher müsste dann bei [mm] dim\,span=8 [/mm]:
[mm] a_1=b_1=c_1 [/mm]
[mm] a_2=b_2=c_2 [/mm]
[mm] a_3=b_3=c_3 [/mm]
[mm] a_4=b_4=c_4 [/mm]
[mm] a_5=b_5=c_5 [/mm]
[mm] a_6=c_6 [/mm]
[mm] b_6=c_7 [/mm]
[mm] b_7=c_8 [/mm]
Geht [mm] dim\,span=9...12 [/mm] genauso weiter ?
[mm] dim\,13 [/mm] geht ja nicht da [mm] \IR^1^2 [/mm]
Was ist dann [mm] b_7 [/mm] in diesem Fall ?
Vielen Dank im Voraus.
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Hallo,
im Nachhinein find' ich meine gestrige Antwort nicht mehr so gut.
Aber Du bist auf den richtigen Weg gekommen.
V+U, also der [mm] span(a_1,...,a_6,b_1,...b_7) [/mm] ist eine Untervektoraum vom [mm] \IR^{12}.
[/mm]
> [mm]dim \IR^1^2 =12[/mm] oder?
Ja.
Und deshalb kann die Dimension von [mm] span(a_1,...,a_6,b_1,...b_7) [/mm] höchstens 12 sein.
> Da V ein Unterraum davon ist, ist [mm]dim\,span=7 [/mm] doch der
> erste mögliche Fall?.
Ja, die Dimension von [mm] span(a_1,...,a_6,b_1,...b_7) [/mm] ist mindestens 7, da [mm] \{a_1,...,a_6,b_1,...b_7\} [/mm] mindestens 7 linear unabhängige Vektoren enthält, nämlich die [mm] b_i.
[/mm]
> Heißt das es gibt 6 Fälle von [mm]dim\,span=7 [/mm] bis
> [mm]dim\,span=12 [/mm].
Ja, genau.
> Stimmt es dann dass, bei [mm]dim\,span=7 [/mm] :
> [mm]a_1=b_1=c_1 [/mm]
> [mm]a_2=b_2=c_2 [/mm]
> [mm]a_3=b_3=c_3 [/mm]
> [mm]a_4=b_4=c_4 [/mm]
>
> [mm]a_5=b_5=c_5 [/mm]
> [mm]a_6=b_6=c_6 [/mm]
> [mm]b_7=c_7 [/mm]
Ich glaube, Du meinst es richtig. Du sollst ja jeweils ganz konkrete Beispiele bringen.
Benennen wir mal die 12 Standardbasisvektoren des [mm] \IR^{12} [/mm] mit [mm] e_1, [/mm] ..., [mm] e_{12}.
[/mm]
Ein Beispiel (von ganz vielen!) dafür, daß der Span die Dimension 7 hat, wäre
[mm]a_1=b_1=e_1 [/mm]
[mm]a_2=b_2=e_2 [/mm]
[mm]a_3=b_3=e_3 [/mm]
[mm]a_4=b_4=e_4 [/mm]
[mm]a_5=b_5=e_5 [/mm]
[mm]a_6=b_6=e_6 [/mm]
[mm]b_7=e_7 [/mm]
>
> Daher müsste dann bei [mm]dim\,span=8 [/mm]:
> [mm]a_1=b_1=c_1 [/mm]
>
> [mm]a_2=b_2=c_2 [/mm]
> [mm]a_3=b_3=c_3 [/mm]
> [mm]a_4=b_4=c_4 [/mm]
> [mm]a_5=b_5=c_5 [/mm]
>
> [mm]a_6=c_6 [/mm]
> [mm]b_6=c_7 [/mm]
> [mm]b_7=c_8 [/mm]
Wenn Du mit den [mm] c_i [/mm] hier die Einheitsvektoren meinst (oder die ektoren irgendeiner anderen Basis des [mm] \IR^{12}, [/mm] dann stimmt's.
>
> Geht [mm]dim\,span=9...12 [/mm] genauso weiter ?
Genau.
>
> [mm]dim\,13[/mm] geht ja nicht da [mm]\IR^1^2[/mm]
> Was ist dann [mm]b_7[/mm] in diesem Fall ?
Da es nicht geht, können wir auch kein solches Beispiel angeben.
Wir können aber argumentieren, warum es nicht geht:
angenommen, der Span hätte die Dimension 13. Dann würde er 13 linear unabhängige Vektoren enthalten.
Der Span ist ein Unterraum des [mm] \IR^{12}. [/mm] Also würde der [mm] \IR^{12} [/mm] 13 linear unabhängige Vektoren enthalten. Seine Dimension ist aber 12, dh. man kan nur Mengenvon max. 12 unabhängigen Vektoren bilden. Widerspruch!
LG Angela
>
> Vielen Dank im Voraus.
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