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| Aufgabe | Sei V ein K-Vektorraum mit dimV = n < oo. Zeigen Sie:
a) Seien W [mm] \le [/mm] V und U < V mit dimU = n-1. Dann gilt dim(W [mm] \cap [/mm] U) [mm] \le [/mm] dimW -1.
b) Seien [mm] U_j \le [/mm] V mit [mm] dimU_j [/mm] = n-1 für 1 [mm] \le [/mm] j [mm] \le [/mm] k. Dann gilt [mm] dim(U_1 \cap [/mm] ... [mm] \cap U_k) \ge [/mm] n-k. |
Hallo,
ich komm mit der Aufgabe leider gar nicht zurecht. Kann mir jemand behilflich sein? Vielen Dank.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.onlinemathe.de/forum/Dimension-von-Schnitten
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:56 Mo 06.12.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei V ein K-Vektorraum mit dimV = n < oo. Zeigen Sie:
> a) Seien W [mm]\le[/mm] V und U < V mit dimU = n-1. Dann gilt dim(W
> [mm]\cap[/mm] U) [mm]\le[/mm] dimW -1.
> b) Seien [mm]U_j \le[/mm] V mit [mm]dimU_j[/mm] = n-1 für 1 [mm]\le[/mm] j [mm]\le[/mm] k.
> Dann gilt [mm]dim(U_1 \cap[/mm] ... [mm]\cap U_k) \ge[/mm] n-k.
> Hallo,
> ich komm mit der Aufgabe leider gar nicht zurecht. Kann
> mir jemand behilflich sein? Vielen Dank.
ich nehme an, dass Du anstatt $W [mm] \le [/mm] V$ eher $W [mm] \subseteq [/mm] V$ und ähnliches meintest.
Generell:
Such mal nach den Stichwörtern "Dimensionssatz (oder Dimensionsformel) für Unterräume" - solche sind hier Deine Freunde. Da die a) so einfach ist (wobei sie es eigentlich doch nicht ist, da die Aufgabenstellung falsch ist: Man kann nur $dim(U [mm] \cap [/mm] W) [mm] \le [/mm] dim(W)$ zeigen, wie das Bsp. [mm] $W=U\,$ [/mm] zeigt!), schauen wir sie uns zunächst mal gemeinsam an:
Nach der Dimensionsformel gilt
$$dim(U [mm] \cap W)=dim(U)+dim(W)-dim(U+W)\,,$$
[/mm]
und wegen den Voraussetzungen
$$dim(U [mm] \cap W)=n-1+\dim(W)-dim(U+W)\,.$$
[/mm]
Wegen $U [mm] \subseteq [/mm] U+W [mm] \subseteq [/mm] V$ (Summen linearer Unterräume sind wieder ein linearer Unterraum) ist aber $dim(U)=n-1 [mm] \le [/mm] dim(U+W) [mm] \le n\,,$ [/mm] also
$$dim(U [mm] \cap [/mm] W)=n-1+dim(W)-dim(U+W) [mm] \in \{n-1+dim(W)-(n-1),\;n-1+dim(W)-n\}=\{dim(W),\;dim(W)-1\}\,.$$
[/mm]
Also
$$dim(U [mm] \cap [/mm] W) [mm] \le dim(W)\,.$$
[/mm]
P.S.:
Vielleicht wolltest Du bei der a) eher
$$dim(U [mm] \cap [/mm] W) [mm] \ge [/mm] dim(W)-1$$
zeigen. Genauer gilt, wie Du oben siehst - unter den gegebenen Voraussetzungen:
[mm] $$\dim(W)-1 \le [/mm] dim(U [mm] \cap [/mm] W) [mm] \le dim(W)\,.$$
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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