Dimension von Vektorräumen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:10 Sa 19.01.2008 | | Autor: | Muesli |
| Aufgabe | Stellen Sie (ohne Rehcnung) fest, ob die Gleichung
q0 + [mm] q1(7+3\wurzel{2}) +q2(7+3\wurzel{2})² [/mm] = 0
eine nichttriviale Lösung q1,q1,q2 mit qi Q besitz.
(hinweis. Man fasse [mm] Q(\wurzel{2}) [/mm] = { a [mm] +b\wurzel{2} [/mm] | a,b Q } als Vektorraum über Q auf und bestimme dessen Dimension) |
Hallo, habe hier diese Aufgabe von meiner Hausübung in Algebra bei der ich nicht so ganz weiß, wie ich das machen soll.
Also triviale Lösung des Ganzen wäre ja sicherlich (0,0,0) gewesen, also q0=0 q1=0 q2=0 ... allerdings suchen wir ja die nichttrivialen Lösungen.
Weiterhin könnte man das ja acuh einfach ausrechnen und dann hätte man die Lösung ja, allerdings soll ich das ja ohne Rechnung feststellen.
(In der Vorlesung haben wir Dimensionen von Vektorräumen schon behandelt, allerdings ist aus diesem unübersichtlichen Durcheinander nicht allzu viel rauszulesen.)
Wäre toll, wenn mir jemadn einen Ansatz geben könnte, wie man so etwas ohne Rechnung durchführt.
Vielen Dank schon einmal. lg Muesli
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> Stellen Sie (ohne Rehcnung) fest, ob die Gleichung
> q0 + [mm]q1(7+3\wurzel{2}) +q2(7+3\wurzel{2})²[/mm] = 0
> eine nichttriviale Lösung q1,q1,q2 mit qi Q besitz.
> (hinweis. Man fasse [mm]Q(\wurzel{2})[/mm] = { [mm] a+b\wurzel{2}| [/mm] a,b Q }
> als Vektorraum über Q auf und bestimme dessen
> Dimension)
> Also triviale Lösung des Ganzen wäre ja sicherlich (0,0,0)
> gewesen, also q0=0 q1=0 q2=0 ... allerdings suchen wir ja
> die nichttrivialen Lösungen.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ja, daß [mm] \vektor{q_0 \\ q_1\\q_2} [/mm] die Gleichung löst, ist keine besondere Überraschung...
Wie in der Aufgabe erwähnt, kannst Du [mm] \IQ(\wurzel{2}) [/mm] als VR über [mm] \IQ [/mm] auffassen.
Hierfür wären die VR-Axiome nachzuweisen - es sei denn, Ihr habt gezeigt/erwähnt, daß [mm] \IR [/mm] über [mm] \IQ [/mm] ein VR ist, wovon ich eigentlich ausgehe. In diesem Falle reicht es, die Unterraumeigenschaften nachzuweisen.
Wenn es ein VR ist, hat er eine Basis. Fragt sich, wieviele Elemente die hat.
Was ein Erzeugendensystem von [mm] \IQ(\wurzel{2}) [/mm] ist, sieht man ja sofort: (1, [mm] \wurzel{2}).
[/mm]
Dein Job ist jetzt, zu zeigen, das das eine Basis ist, also linear unabhängig. (Verwende hierfür, daß [mm] \wurzel{2} [/mm] nichtrational ist.)
Nach diesen Vorarbeiten kannst Du Dich langsam der Aufgabe zuwenden.
Zeige, daß die [mm] (7+3\wurzel{2})^k, [/mm] k=0,1,2 , in [mm] \IQ(\wurzel{2}) [/mm] liegen, und überlege Dir, woraus nun schließen kannst, daß es eine nichttriviale Linearkombination gibt.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:57 So 20.01.2008 | | Autor: | Muesli |
Danke für die Hilfe. Werde das so versuchen.
Vielen Danke lg Muesli
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