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Dimensionsberechnungen & mehr: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:49 Mo 30.08.2004
Autor: Fry

Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.

Hallo ! :)

Folgende Aufgaben:
1) Bestimmen Sie unter vollständiger Angabe des Lösungswegs:
n= dim [mm] [\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix}] [/mm]
m= dim [mm] [\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -\bruch{5}{4} \\ -1 \\ -\bruch{1}{4} \end{pmatrix}] [/mm]

2) Das Gleichsetzen der rechten Seiten der Ebenengleichungen
[mm] E_1: \vec [/mm] x = [mm] \begin{pmatrix} \bruch{5}{4} \\ 1 \\ \bruch{1}{4} \end{pmatrix} +s*\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} +t*\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm]
[mm] E_2: \vec [/mm] x = [mm] s*\begin{pmatrix} -5 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix} +t*\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm]

führt zu einem LGS,dessen Matrix aus den (Spalten-)Vektoren von a) besteht. Wie würden [mm] E_1 [/mm] und [mm] E_2 [/mm] zueinander liegen,wenn
2.1) n=m=2
2.2) n=2 und n=3
2.3)n=m=3 wäre ?

Zu 1)
Ich habe herausgefunden,dass die ersten beiden Vektoren lin. unabhängig sind und  sich die beiden anderen Vektoren durch die ersten beiden darstellen lassen. Reicht das, um zu zeigen,das dim U = 2 ?
Beim zweiten Untervektorraum erhalte ich wieder dim U = 2,da der 5.Vekor ein Vielfaches des 3.Vektors ist.
Zu2)
Hier verstehe ich irgendwie nur Bahnhof :=).
Sind das jetzt nur theoretische Überlegungen? Wenn die Dimension der beiden UVektorräumen anders wäre,d.h. wenn die Vektoren auch anders wären, wie würden dann die Ebenen  zueinander liegen ? oder was ?
Kann mir vielleicht jemand einen Tipp geben,ich blicke gerade nicht so ganz,wie ich an die Aufgabe rangehen soll.
Danke !

MfG
Fry

        
Bezug
Dimensionsberechnungen & mehr: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:39 Mo 30.08.2004
Autor: ladislauradu

Hallo Fry!

1) Deine Überlegungen sind richtig. Allgemein musst du den Rang der Matrix, die aus den Vektoren gebildet ist, bestimmen (zum Beispiel mit dem Gaußalgorithmus).

2) n und m sind fest, wie können sie andere Werte haben? Ich verstehe die Aufgabe auch nicht. Bist du sicher, dass du sie richtig abgeschrieben hast?

Schöne Grüße,
Ladis

Bezug
                
Bezug
Dimensionsberechnungen & mehr: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:47 Mo 30.08.2004
Autor: Fry

Hi Ladies,
danke für deine Antwort.
Was meinst du denn genau mit dem Rang der Matrix bzw. wie bestimme ich den  ?
Die Aufgabe habe ich übrigens korrekt abgeschrieben....da bin ich ja erleichtert,dass ich nicht der einzige bin,der die Aufgabe nicht versteht.

Gruß
Fry


Bezug
                        
Bezug
Dimensionsberechnungen & mehr: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:06 Mo 30.08.2004
Autor: ladislauradu

Hallo Fry!

Gegeben sei das LGS [mm]A\vec{x}=\vec{b}[/mm]. Dann nennt man die Höchstzahl r der auf der linken Seite erzeugbaren unterschiedlichen Einheitsvektoren den Rang der Matrix A.
Suche mal in Google nach "Gaußalgorithmus".

Schöne Grüße,
Ladislau


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