Dimensionsbestimmung bei VR's < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm] K = \{ \lambda = a + \wurzel[2]{2}b | a, b \in \IQ \} [/mm]. Welche Dimension hat:
a) [mm] K^n [/mm] als Vektorraum über [mm] \IK [/mm] ?
b) [mm] K^n [/mm] als Vektorraum über [mm] \IQ [/mm] ?
c) [mm] \IR^n [/mm] als Vektorraum über [mm] \IQ [/mm] ? |
- diese Frage habe ich in keinem anderen Forum gestellt -
Hallo,
Also zur Aufgabe a) oben habe ich einen konstruktiven Beweis geführt. Ich habe eine Basis konstruiert und dabei rausbekommen, dass die Dimension n ist. Kurioserweise kann ich aber ähnlich auch für Teilaufgabe b) und c) konstruieren und mein Konstruktionsprinzip ist vollkommen unabhängig vom Körper aus dem die Elemente für die skalare Multiplikation stammen. Also hätte ich für alle drei Vektorräume die Dimension n. Bevor ich meine Konstruktion hier poste dachte ich, geh' ich mal auf Fühlung, ob das überhaupt richtig sein könnte. Denn es wäre doch sehr seltsam, dass diese Konstellation dreimal zum Ergebnis Dimension = n führt...
Für eure Meinungen wäre ich dankbar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:57 Mo 11.12.2006 | | Autor: | Vielfrager |
ok. Ich habs nochmal überdacht und mit dem neuen Konstruktionsprinzip erhalte ich für Aufgabe b) eine Dimension von n+n = 2n , für a) weiterhin n, für c) brauche ich aber doch unendlich viele Basen, um jeden Vektor in rationalen Koordinaten darzustellen, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:22 Di 12.12.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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