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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:14 Fr 26.11.2010 | | Autor: | Theway |
| Aufgabe | | Sei K' ein Teilkörper des Körpers K, d.h. K' Teilmenge K ist selbst ein Körper. Der K'-Vektorraum K habe endliche Dimension [mm] k=dim_{K'}(K) [/mm] < unendlich. Sei V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum. Schränkt man die Skalarmultiplikation von K auf K' ein, so wird V auch zu einem K'-Vektorraum. Zeige [mm] dim_{K'}(V) [/mm] = k+ [mm] dim_{K}(V). [/mm] |
Welchen Ansatz würdet ihr wählen zur Lösung der Aufgabe? Eine Idee war:
Wir nutzen die Isomorphie eines endlich dimensionalen Vektorraums zum Spaltenvektorraum und schlussfolgern dann.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: matheboard.de
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Hallo Theway,
> $ [mm] dim_{K'}(V) [/mm] $ = k+ $ [mm] dim_{K}(V)$
[/mm]
Ich hoffe nicht, dass Du das beweisen willst.
Es besteht mehr Hoffnung Folgendes zu beweisen:
$ [mm] dim_{K'}(V) [/mm] = [mm] \text{dim}_{K'}(K) \cdot\text{dim}_{K}(V)$
[/mm]
Betrachte eine Basis $B'$ von $K$ als $K'$-Vektorraum und eine Basis $B$ von $V$ als $K$-Vektorraum. Jetzt stellt man ein Element von $V$, aufgefasst als $K'$-Vektorraum, mit diesen Basen dar [mm] \ldots
[/mm]
LG mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Fr 26.11.2010 | | Autor: | Theway |
| Aufgabe | | Sei K' ein Teilkörper des Körpers K, d.h. K' Teilmenge K ist selbst ein Körper. Der K'-Vektorraum K habe endliche Dimension k=dim[K'](K) < unendlich. Sei V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum. Schränkt man die Skalarmultiplikation von K auf K' ein, so wird V auch zu einem K'-Vektorraum. Zeige dim[K'](V) = k* dim[K](V). |
Ich würd mit der Isomorphie eines endlichdimensionalen Vektorraums rangehen und diese zum Spaltenvektorraum bringen. Wie schreibe ich das ordnetlich auf und wie geht es weiter.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:vorhilfe.de
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> Sei K' ein Teilkörper des Körpers K, d.h. K' Teilmenge K
> ist selbst ein Körper. Der K'-Vektorraum K habe endliche
> Dimension k=dim[K'](K) < unendlich. Sei V ein
> endlichdimensionaler K-Vektorraum. Schränkt man die
> Skalarmultiplikation von K auf K' ein, so wird V auch zu
> einem K'-Vektorraum. Zeige dim[K'](V) = k* dim[K](V).
> Ich würd mit der Isomorphie eines endlichdimensionalen
> Vektorraums rangehen und diese zum Spaltenvektorraum
> bringen. Wie schreibe ich das ordnetlich auf und wie geht
> es weiter.
Hallo,
schreib's doch erstmal unordentlich, aber weniger geheimnisvoll, auf.
Von der Isomorphie zu welchem endl. Vektorraum sprichst Du denn, und was meinst Du mit "diese zum Spaltenraum bringen".
Erklär das doch mal.
Weitere Gedanken:
K über K' hat eine Basis [mm] k_1,...,k_m,
[/mm]
(Nebenbei: kannst Du eine Basis von K über K sagen?)
V hat eine Basis [mm] v_1,...,v_n.
[/mm]
Eine Idee wäre, das erstmal konkret zu überlegen für die Körper [mm] \IC [/mm] und [mm] \IR, [/mm] und vielleicht für den Vektorraum V der Polynome vom Höchstgrad 2 mit Koeffizienten aus [mm] \IC.
[/mm]
Überleg Dir mal Basen und Dimensionen der Räume.
Du solltest jetzt mal ein wenig Aktivität entwickeln, damit man mal eine Ahnung bekommt, wie und wo man weiterhelfen könnte.
Gruß v. Angela
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> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt: matheboard.de
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
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Gruß v. Angela
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