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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:13 Di 19.12.2006 | | Autor: | kleine-Elfe |
| Aufgabe | Sei V ein K-Vektorraum und [mm] U_{1} [/mm] , [mm] U_{2} \le [/mm] V. Geben Sie einen alternativen Beweis der Dimensionsformel
[mm] dim_{k} [/mm] ( [mm] U_{1} [/mm] + [mm] U_{2} [/mm] ) + [mm] dim_{k}( U_{1} \cap U_{2} [/mm] ) = [mm] dim_{k} [/mm] ( [mm] U_{1} [/mm] ) + [mm] dim_{k} [/mm] ( [mm] U_{2} [/mm] )
durch Anwendung der Kern-Bild-Formel auf die Abbildung
d: [mm] U_{1} \times U_{2} \to U_{1} [/mm] + [mm] U_{2} [/mm] , ( [mm] u_{1} [/mm] , [mm] u_{2} [/mm] ) [mm] \mapsto u_{1} [/mm] - [mm] u_{2}
[/mm]
Beachten Sie: [mm] U_{1} \times U_{2} \le [/mm] V [mm] \times [/mm] V und [mm] U_{1} [/mm] + [mm] U_{2} \times [/mm] V) |
Hallöchen,
ich hänge an dieser Aufgabe. Kann mir bitte jemand helfen? Ich weiß einfach nicht wie ich die lösen soll...
LG
Zusatz aus der Vorlesung: Kern-Bild-Formel
Sei V,W k-Vektorräume, f [mm] \in Hom_{k} [/mm] (V,W). Dann gilt: [mm] dim_{k}V [/mm] = [mm] dim_{k} [/mm] Kern f + [mm] dim_{k} [/mm] Bild f.
[ Wir definieren den Rang f:= [mm] dim_{k} [/mm] Bild f]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:11 Mi 20.12.2006 | | Autor: | Nansen |
Hallo kleine-elfe :)
Mit der Aufgabe hatte ich auch letztens zu tun. Mal sehen, was hängen geblieben ist:
Zunächst solltest Du prüfen, dass durch
[mm] g(u_1,u_2) \mapsto u_1 [/mm] - [mm] u_2
[/mm]
wirklich eine k-lineare Abbildung (Homomorphismus) gegeben ist.
Überlege Dir, dass [mm] dim_k(U \times [/mm] U') = [mm] dim_k(U) [/mm] + [mm] dim_k(U') [/mm] gilt.
Dann betrachten wir die Eigenschaften von g. Aus dem Dimensionssatz für k-lineare Abbildung folgt:
dim(U [mm] \times [/mm] U') = dim(ker(g)) + dim(im(f)).
Nun müssen wir die Eigenschaften von g Ausnutzen. Welche Elemente liegen im Kern von g? Nun: Liegen [mm] u_1, u_2 [/mm] im Kern von g, dann gilt [mm] g(u_1, u_2) [/mm] = 0 [mm] \gdw u_1 [/mm] - [mm] u_2 [/mm] = 0 [mm] \gdw u_1 [/mm] = [mm] u_2. [/mm] D.h. [mm] u_1 [/mm] und [mm] u_2 [/mm] müssen gleich sein. Wo finden wir gleiche Elemente in [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2? [/mm] Im Durchschnitt! Damit haben wir dann dim(ker(g)) = dim(U [mm] \cap [/mm] U'). (Siehst Du die Verknüpfung zum Dimensionssatz?)
Schaffst Du eine Aussage über das Bild von g zu machen? Wenn nicht, dann frag nochmal.
Viele Grüße :)
Nansen
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Hallo,
vielen Dank erstmal für deine Hilfe!
das mir dem Bilde bekomme ich nicht hin. Kannst du mir da nochmal helfen, bitte?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:29 Mi 20.12.2006 | | Autor: | Nansen |
Hallo kleine_elfe,
Also für das Bild gilt: Sei v ein Element des Bildes von g, dann gibt es [mm] u_1 [/mm] und [mm] u_2 [/mm] mit v = [mm] u_1 [/mm] - [mm] u_2, [/mm] was aber bedeutet, dass v in [mm] U_1+U_2 [/mm] liegt.
Nimm nun ein v [mm] \in U_1+U_2, [/mm] dazu gibt es [mm] u_1 [/mm] und [mm] u_2 [/mm] mit v = [mm] u_1+u_2, [/mm] da [mm] U_2 [/mm] ein Unterraum ist, gibt es auch ein u'_2 mit v = [mm] u_1 [/mm] - u'_2 (vergleiche dies wieder mit der Def. der lin. Abb g). Also liegt v im Bild von g.
Beachte: Wir hatten v beliebig gewählt, kommen also zum Schluss, dass für das Bild von g gilt: im(g) = [mm] U_1+U_2, [/mm] und das bedeutet dim(im(g)) = [mm] dim(U_1+U_2).
[/mm]
Nun hast Du alle Teile des Puzzles  Du musst sie nun nur noch zusammenbauen, aber ich hoffe, dass der Bezug zur Dimensionsformel klar geworden ist und das keine Schwierigkeiten mehr bereiten wird.
Viele Grüße
Nansen
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vielen dank! du hast mir wirklich sehr geholfen!
Schönen Tag wünsche ich dir noch!
und nochmal Danke Danke Danke
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