Dimensionsformel < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:21 So 16.01.2011 | | Autor: | Ray07 |
| Aufgabe | a) Sei V ein K-Vektorraum und f : V → V eine lineare Abbildung mit [mm] f^2 [/mm] = f. Zeigen Sie, dass
V = kerf ⊕ im f gilt.
b) Seien V und W zwei K-Vektorräume und f : V → W eine lineare Abbildung. Sei U ⊂ W ein Unterraum.
Zeigen Sie, dass
dim [mm] f^{-1}(U) [/mm] = dim(U ∩ im f) + dim(ker f)
gilt. |
hey leute ich bins mal wieder *schäm*
ich hab nur ne frage zu der b)
was bedeutet den im diesen fall dieses [mm] f^{-1} [/mm] ? ist ja eigentlich das Inverse zu f , wenn es ein inverses gibt muss die abbildung auf U ja dann bijektiv sein oder? also ist dann die dimension von [mm] f^{-1}(U) [/mm] nicht gleich von f(U)? oder bin ich auf nem ganz falschem dampfer?
wäre dankbar für hilfe und einen (großen ;)) Tipp
LG Ray
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:38 So 16.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> a) Sei V ein K-Vektorraum und f : V → V eine lineare
> Abbildung mit [mm]f^2[/mm] = f. Zeigen Sie, dass
> V = kerf ⊕ im f gilt.
> b) Seien V und W zwei K-Vektorräume und f : V → W eine
> lineare Abbildung. Sei U ⊂ W ein Unterraum.
> Zeigen Sie, dass
> dim [mm]f^{-1}(U)[/mm] = dim(U ∩ im f) + dim(ker f)
> gilt.
> hey leute ich bins mal wieder *schäm*
>
> ich hab nur ne frage zu der b)
>
> was bedeutet den im diesen fall dieses [mm]f^{-1}[/mm] ? ist ja
> eigentlich das Inverse zu f , wenn es ein inverses gibt
> muss die abbildung auf U ja dann bijektiv sein oder?
nein, hier geht's nicht um eine (evtl. vorhandene oder auch nicht vorhandene) Umkehrabbildung. Mit [mm] $f^{-1}(U)$ [/mm] bezeichnet man das Urbild von [mm] $U\,$ [/mm] unter [mm] $f\,,$ [/mm] wobei dann natürlich sinnvollerweise $U [mm] \subseteq$ [/mm] der Zielmenge von [mm] $f\,$ [/mm] war.
Formal heißt das
[mm] $$f^{-1}(U):=\blue{\{v \in V\:}\,(=D_f); \blue{f(v) \in U}\;\;(\subseteq W=\text{Zielmenge von }f\blue{\}}\,;$$
[/mm]
beachte, dass bei b) ja $f: [mm] D_f=V \to W=\text{Zielmenge von }f$ [/mm] war.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 19:57 So 16.01.2011 | | Autor: | Ray07 |
danke erstmal
also ist [mm] f^{-1} [/mm] die menge der elemente die auf U abgebildet werden okay
danke aber wie mache ich jetzt weiter? ich stehe heute voll auf dem schlauch, wenn es um die dim geht
ich weiß das ich die dim(ker f) = dim V- dim(im f) darstellen kann aber hilft mir des weiter?
dim ( U [mm] \cap [/mm] im f) = dim (U)+ dim(im f) - dim(U + im f) sein oder?
also würde doch folgen
dim [mm] f^{-1}(U) [/mm] = dim (U) + dim(im f) - dim (U +im f) + dim(V) - dim (im f)
= dim (U) + dim (V) - dim (U +im f)
stimmt das soweit? brauch ich das überhaupt? wenn ja/nein wie mach ich dann weiter :(?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:20 Mo 17.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Mo 17.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
