Dimensionssatz < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Seien K ein Körper und V,W endlich-dimensionale K-Vektorräume. Zeigen Sie, dass die folgenden beiden Aussagen äquivalent sind:
(i) Es gibt einen Monomorphismus [mm]\phi[/mm]: V → W von K-Vektorräumen.
(ii) Es gilt dimV ≤ dimW. |
Hallo zusammen,
die "hin"-Richtung habe ich so bewiesen:
Es gilt: [mm]\phi[/mm] ist injektiv [mm]\gdw\ker(\phi)={0_v}[/mm] und
dim im[mm](\phi)[/mm] ≤ dimW
Angenommen es wäre dimV > dimW.
Laut Dimensionssatz gilt: dimV = dim im[mm](\phi)[/mm] + dim ker[mm](\phi)[/mm], also wäre dim im[mm](\phi)[/mm] + dim ker[mm](\phi)[/mm] > dimW. Da aber dim im[mm](\phi)[/mm] ≤ dimW gilt, folgt dann: dim ker[mm](\phi)[/mm] > 0, und es ergibt sich ein Widerspruch zur Injektivität von [mm]\phi[/mm]
Zur "Rück"-Richtung habe ich leider überhaupt keine Idee, ich verstehe sie nicht einmal. Ich könnte doch z.B. die Nullabbildung von [mm]\IR^2\to\IR^3[/mm] definieren, dann wäre dimV ≤ dimW, aber die Abbildung doch nicht injektiv?
Ich würde mich über Hilfe sehr freuen,
Liebe Grüße Hanna
Ich habe diese Frage in keinen anderen Internetforen gestellt.
|
|
| |
|
Hallo,
> Seien K ein Körper und V,W endlich-dimensionale
> K-Vektorräume. Zeigen Sie, dass die folgenden beiden
> Aussagen äquivalent sind:
>
> (i) Es gibt einen Monomorphismus [mm]\phi[/mm]: V → W von
> K-Vektorräumen.
>
> (ii) Es gilt dimV ≤ dimW.
> Hallo zusammen,
>
> die "hin"-Richtung habe ich so bewiesen:
>
> Es gilt: [mm]\phi[/mm] ist injektiv [mm]\gdw\ker(\phi)={0_v}[/mm] und
>
> dim im[mm](\phi)[/mm] ≤ dimW
>
> Angenommen es wäre dimV > dimW.
>
> Laut Dimensionssatz gilt: dimV = dim im[mm](\phi)[/mm] + dim
> ker[mm](\phi)[/mm], also wäre dim im[mm](\phi)[/mm] + dim ker[mm](\phi)[/mm] > dimW.
> Da aber dim im[mm](\phi)[/mm] ≤ dimW gilt, folgt dann: dim
> ker[mm](\phi)[/mm] > 0, und es ergibt sich ein Widerspruch zur
> Injektivität von [mm]\phi[/mm]
Das ist so okay.
Man kann es natürlich auch direkt beweisen:
$dim(V) = [mm] dim(Bild(\phi)) [/mm] + [mm] dim(Kern(\phi)) [/mm] = [mm] dim(Bild(\phi)) \le [/mm] dim(W)$.
> Zur "Rück"-Richtung habe ich leider überhaupt keine Idee,
> ich verstehe sie nicht einmal. Ich könnte doch z.B. die
> Nullabbildung von [mm]\IR^2\to\IR^3[/mm] definieren, dann wäre dimV
> ≤ dimW, aber die Abbildung doch nicht injektiv?
Lies dir die Aussage (i) nochmal durch. Da steht nicht, dass jede Abbildung von V nach W ein Monomorphismus ist, sondern nur, dass es einen gibt.
Und deine Nullabbildung ist es offenbar nicht.
Nun gibt es ja für deinen Monomorphismus nicht soviele Möglichkeiten, da wir ja nicht wissen, wie V und W aussehen. Da V,W aber endlichdimensional, haben V und W auf jeden Fall .....
Nun definieren wir eine Abbildung
[mm] $\phi:V\to [/mm] W$
durch Angabe der Bilder der oben definierten ..... von V. Natürlich lassen wir [mm] \phi [/mm] auf die .....vektoren von W abbilden. Ist das injektiv? Wieso?
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
Hallo,
>
> Das ist so okay.
> Man kann es natürlich auch direkt beweisen:
>
> [mm]dim(V) = dim(Bild(\phi)) + dim(Kern(\phi)) = dim(Bild(\phi)) \le dim(W)[/mm].
Ja, das ist auf jeden Fall "schöner"!
> > Zur "Rück"-Richtung habe ich leider überhaupt keine Idee,
> > ich verstehe sie nicht einmal. Ich könnte doch z.B. die
> > Nullabbildung von [mm]\IR^2\to\IR^3[/mm] definieren, dann wäre dimV
> > ≤ dimW, aber die Abbildung doch nicht injektiv?
>
> Lies dir die Aussage (i) nochmal durch. Da steht nicht,
> dass jede Abbildung von V nach W ein Monomorphismus ist,
> sondern nur, dass es einen gibt.
> Und deine Nullabbildung ist es offenbar nicht.
>
> Nun gibt es ja für deinen Monomorphismus nicht soviele
> Möglichkeiten, da wir ja nicht wissen, wie V und W
> aussehen. Da V,W aber endlichdimensional, haben V und W auf
> jeden Fall .....
Endliche Basen <[mm]v_1,...,v_n[/mm]> und <[mm]w_1,...,v_r[/mm]> mit n≤r
> Nun definieren wir eine Abbildung
>
> [mm]\phi:V\to W[/mm]
>
> durch Angabe der Bilder der oben definierten ..... von V.
...Basisvektoren von V, also [mm]\phi:V\to W[/mm] [mm]\phi(v_i)=w_i[/mm] 1≤i≤n
> Natürlich lassen wir [mm]\phi[/mm] auf die .....vektoren von W
...Basisvektoren von W
> abbilden. Ist das injektiv? Wieso?
Das ist injektiv, da jedem Bildvektor höchstens ein "Urbild"-Vektor zugeordnet wird, also gilt:
[mm]\phi(v)=\phi(v')[/mm] folgt v=v' , für alle v, v' [mm]\in[/mm] <[mm]v_1,...,v_n[/mm]>
LG Hanna
|
|
|
| |
|
Hallo,
> > Nun gibt es ja für deinen Monomorphismus nicht soviele
> > Möglichkeiten, da wir ja nicht wissen, wie V und W
> > aussehen. Da V,W aber endlichdimensional, haben V und W auf
> > jeden Fall .....
>
> Endliche Basen <[mm]v_1,...,v_n[/mm]> und <[mm]w_1,...,w_r[/mm]> mit n≤r
>
> > Nun definieren wir eine Abbildung
> >
> > [mm]\phi:V\to W[/mm]
> >
> > durch Angabe der Bilder der oben definierten ..... von V.
>
> ...Basisvektoren von V, also [mm]\phi:V\to W[/mm] [mm]\phi(v_i)=w_i[/mm]
> 1≤i≤n
>
> > Natürlich lassen wir [mm]\phi[/mm] auf die .....vektoren von W
>
> ...Basisvektoren von W
Alles richtig ausgefüllt 
> > abbilden. Ist das injektiv? Wieso?
>
> Das ist injektiv, da jedem Bildvektor höchstens ein
> "Urbild"-Vektor zugeordnet wird, also gilt:
>
> [mm]\phi(v)=\phi(v')[/mm] folgt v=v' , für alle v, v' [mm]\in[/mm]
> <[mm]v_1,...,v_n[/mm]>
Das ist jetzt noch kein Beweis dafür, dass die Abbildung injektiv ist (also nicht stichhaltig), aber es ist wirklich trivial, du kannst es ja mal formal aufschreiben.
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
Hallo
> >
> > Das ist injektiv, da jedem Bildvektor höchstens ein
> > "Urbild"-Vektor zugeordnet wird, also gilt:
> >
> > [mm]\phi(v)=\phi(v')[/mm] folgt v=v' , für alle v, v' [mm]\in[/mm]
> > <[mm]v_1,...,v_n[/mm]>
>
> Das ist jetzt noch kein Beweis dafür, dass die Abbildung
> injektiv ist (also nicht stichhaltig), aber es ist wirklich
> trivial, du kannst es ja mal formal aufschreiben.
Also etwa so:
w=w' ist laut Definition von [mm]\phi[/mm] äquivalent zu [mm]\phi(v)=\phi(v')[/mm] und das ist laut Definition wiederum äquivalent zu v=v' ?
LG Hanna
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Hallo
> > >
> > > Das ist injektiv, da jedem Bildvektor höchstens ein
> > > "Urbild"-Vektor zugeordnet wird, also gilt:
> > >
> > > [mm]\phi(v)=\phi(v')[/mm] folgt v=v' , für alle v, v' [mm]\in[/mm]
> > > <[mm]v_1,...,v_n[/mm]>
> >
> > Das ist jetzt noch kein Beweis dafür, dass die Abbildung
> > injektiv ist (also nicht stichhaltig), aber es ist wirklich
> > trivial, du kannst es ja mal formal aufschreiben.
>
> Also etwa so:
>
> w=w' ist laut Definition von [mm]\phi[/mm] äquivalent zu
> [mm]\phi(v)=\phi(v')[/mm] und das ist laut Definition wiederum
> äquivalent zu v=v' ?
?? Wieso ist [mm] \phi(v)=\phi(v') [/mm] äquivalent zu v = v' ? Damit setzt du ja voraus, dass [mm] \phi [/mm] bijektiv ist!
Seien [mm] $v,v'\in $, [/mm] d.h. $v = [mm] \lambda_{1}*v_{1}+...+\lambda_{n}*v_{n}$, [/mm] $v' = [mm] \mu_{1}*v_{1}+...+\mu_{n}*v_{n}$ [/mm] mit [mm] \phi(v) [/mm] = [mm] \phi(v').
[/mm]
Daraus folgt
[mm] $\lambda_{1}*w_{1} [/mm] + ... + [mm] \lambda_{n}*w_{n}= \lambda_{1}*\phi(v_{1}) [/mm] + ... + [mm] \lambda_{n}*\phi(v_{n}) [/mm] = [mm] \phi(v) [/mm] = [mm] \phi(v') [/mm] = [mm] \mu_{1}*\phi(v_{1}) [/mm] + ... + [mm] \mu_{n}*\phi(v_{n}) [/mm] = [mm] \mu_{1}*w_{1} [/mm] + ... + [mm] \mu_{n}*w_{n}$,
[/mm]
und weil [mm] w_{1},...,w_{n} [/mm] linear unabhängig, folgt [mm] $\lambda_{i} [/mm] = [mm] \mu_{i}$ [/mm] für i = 1,...,n.
Damit folgt v = v'.
Grüße,
Stefan
|
|
|
|
