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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:16 Di 31.08.2010 | | Autor: | babapapa |
| Aufgabe | U, W seien zwei Teilräume eines n-dimensionalen Vektorraumes V.
dim (U + W) = dim(U) + dim(W) - dim(U [mm] \cap [/mm] W) |
Hallo!
Ich habe diesen Beweis in einem LA Skript gefunden, verstehe ihn aber an einer Stelle nicht ganz. Wäre nett, wenn mir jemand das Argument dafür liefern könnte (ich steh wahrscheinlich wieder auf der Leitung)
Also der Beweis:
Sei U [mm] \cap [/mm] W [mm] \vartriangleleft [/mm] V und enldichdimensional
Sei [mm] (v_1 [/mm] , ..., [mm] v_r) [/mm] eine Basis von U [mm] \cap [/mm] W, also dim(U [mm] \cap [/mm] W) = r
Nach dem Basisergänzugssatz kann man [mm] (v_1, [/mm] ..., [mm] v_r) [/mm] zu Basen von U bzw W ergänzen
Also:
[mm] (v_1, [/mm] ..., [mm] v_r, u_1, [/mm] ..., [mm] u_s) [/mm] sei Basis von U [mm] \Rightarrow [/mm] dim(U) = r + s
[mm] (v_1, [/mm] ..., [mm] v_r, w_1, [/mm] ..., [mm] w_t) [/mm] sei Basis von U [mm] \Rightarrow [/mm] dim(W) = r + t
Behauptung:
B := [mm] (v_1, [/mm] ..., [mm] v_r, u_1, [/mm] ..., [mm] u_s, w_1, [/mm] ..., [mm] w_t) [/mm] sei Basis von U + W
Beweis zeige das U + W = <B>
also B ist Erzeugendensystem
Sei v [mm] \in [/mm] U + W [mm] \Rightarrow [/mm] v = u + w mit u [mm] \in [/mm] U und w [mm] \in [/mm] W [mm] \Rightarrow
[/mm]
u = [mm] \lambda_1 v_1 [/mm] + ... + [mm] \lambda_r v_r [/mm] + [mm] \mu_1 u_1 [/mm] + ... [mm] +\mu_s u_s
[/mm]
w = [mm] \beta_1 v_1 [/mm] + ... + [mm] \beta_r v_r [/mm] + [mm] \gamma_1 w_1 [/mm] + ... [mm] +\gamma_t w_t
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
v = u + w = [mm] \lambda_1 v_1 [/mm] + ... + [mm] \lambda_r v_r [/mm] + [mm] \mu_1 u_1 [/mm] + ... [mm] +\mu_s u_s [/mm] + w = [mm] \beta_1 v_1 [/mm] + ... + [mm] \beta_r v_r [/mm] + [mm] \gamma_1 w_1 [/mm] + ... [mm] +\gamma_t w_t [/mm] = [mm] (\lambda_1 [/mm] + [mm] \beta_1) v_1 [/mm] + ... + [mm] (\lambda_r [/mm] + [mm] \beta_r) v_r [/mm] + [mm] \mu_1 u_1 [/mm] + ... [mm] +\mu_s u_s [/mm] + [mm] \gamma_1 w_1 [/mm] + ... [mm] +\gamma_t w_t
[/mm]
= [mm] \alpha_1 v_1 [/mm] + ... + [mm] \alpha_r v_r [/mm] + [mm] \mu_1 u_1 [/mm] + ... [mm] +\mu_s u_s [/mm] + [mm] \gamma_1 w_1 [/mm] + ... [mm] +\gamma_t w_t
[/mm]
gut, bis hierhin noch alles klar!
Nun zeige ich, dass B linear unabhängig ist, damit B Basis ist.
(*) Sei [mm] \lambda_1 v_1 [/mm] + ... + [mm] \lambda_r v_r [/mm] + [mm] \mu_1 u_1 [/mm] + ... [mm] +\mu_s u_s [/mm] + [mm] \gamma_1 w_1 [/mm] + ... [mm] +\gamma_t w_t [/mm] = 0
zu zeigen ist, dass dies nur der Fall ist, wenn alle Koeffizienten 0 sind. Also die triviale Linearkombination
[mm] \lambda_1 v_1 [/mm] + ... + [mm] \lambda_r v_r [/mm] + [mm] \mu_1 u_1 [/mm] + ... [mm] +\mu_s u_s [/mm] = - [mm] \gamma_1 w_1 [/mm] - ... [mm] -\gamma_t w_t [/mm] = x [mm] \in [/mm] U [mm] \cap [/mm] W
und genau das verstehe ich nicht, warum ist dieser Vektor im Durchschnitt. Ich hab da jetzt schon einige male draufgeguckt, aber irgendwie komm ich nicht drauf.
Die linke Seite ist [mm] \in [/mm] U und die rechte Seite [mm] \in [/mm] W
Da x [mm] \in [/mm] U [mm] \cap [/mm] W gibt es [mm] \alpha_1, [/mm] ..., [mm] \alpha_r [/mm] mit x = [mm] \alpha_1 v_1 [/mm] + ... + [mm] \alpha_r v_r
[/mm]
Damit folgt:
[mm] \lambda_1 v_1 [/mm] + ... + [mm] \lambda_r v_r [/mm] + [mm] \mu_1 u_1 [/mm] + ... [mm] +\mu_s u_s [/mm] = [mm] \alpha_1 v_1 [/mm] + ... + [mm] \alpha_r v_r
[/mm]
Da die Basisdarstellung eines Vektors eindeutig ist und [mm] (v_1, [/mm] ..., [mm] v_r, u_1, [/mm] ..., [mm] u_s) [/mm] l.u. ist muss durch koeffizientenvergleich [mm] \mu_1 [/mm] = ... = [mm] \mu_r [/mm] = 0 sein
Dies setzt man nun in (*) ein womit
[mm] \lambda_1 v_1 [/mm] + ... + [mm] \gamma_1 w_1 [/mm] + ... [mm] +\gamma_t w_t [/mm] = 0
ist.
Da W eine Basis ist, enthält diese nur l.u. Vektoren. Damit ist nur eine triviale Linearkombination möglich, die den Nullvektor ergibt.
damit ist [mm] \lambda_1 [/mm] = ... = [mm] \lambda_r [/mm] = [mm] \gamma_1 [/mm] = ... = [mm] \gamma_t [/mm] = 0
Damit ist B l.u und es gilt
dim(U + W) = r + s + t = (r+s) + (r+t) - r = dim(U) + dim(W) - dim(U [mm] \cap [/mm] W)
Wie gesagt, ich verstehe den 2ten Teil des Beweises nicht ganz - also warum x nun auf einmal in der "Menge" U [mm] \cap [/mm] W ist.
Vielen Dank für die Hilfe.
lg
Babapapa
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Hallo babapapa,
> Also:
> <IMG class=latex [mm] alt=$(v_1,$ src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$(v_1%2C$" [/mm] _cke_realelement="true"> ..., <IMG class=latex [mm] alt="$v_r, u_1,$" src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$v_r%2C%20u_1%2C$" [/mm] _cke_realelement="true"> ..., <IMG class=latex [mm] alt=$u_s)$ src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$u_s)$" [/mm] _cke_realelement="true"> sei Basis von U <IMG class=latex [mm] alt=$\Rightarrow$ [/mm] src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$%5CRightarrow$" _cke_realelement="true">
> dim(U) = r + s
> <IMG class=latex [mm] alt=$(v_1,$ src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$(v_1%2C$" [/mm] _cke_realelement="true"> ..., <IMG class=latex [mm] alt="$v_r, w_1,$" src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$v_r%2C%20w_1%2C$" [/mm] _cke_realelement="true"> ..., <IMG class=latex [mm] alt=$w_t)$ src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$w_t)$" [/mm] _cke_realelement="true"> sei Basis von U [mm] \red{W} [/mm] <IMG class=latex [mm] alt=$\Rightarrow$ [/mm] src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$%5CRightarrow$" _cke_realelement="true">
> dim(W) = r + t
>
> Nun zeige ich, dass B linear unabhängig ist, damit B Basis
> ist.
>
> (*) Sei <IMG class=latex [mm] alt="$\lambda_1 v_1$" src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$%5Clambda_1%20v_1$" [/mm] _cke_realelement="true"> + ... + <IMG class=latex [mm] alt="$\lambda_r v_r$" src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$%5Clambda_r%20v_r$" [/mm] _cke_realelement="true"> + <IMG class=latex [mm] alt="$\mu_1 u_1$" src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$%5Cmu_1%20u_1$" [/mm] _cke_realelement="true"> +
> ... <IMG class=latex [mm] alt="$+\mu_s u_s$" src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$%2B%5Cmu_s%20u_s$" [/mm] _cke_realelement="true"> + <IMG class=latex [mm] alt="$\gamma_1 w_1$" src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$%5Cgamma_1%20w_1$" [/mm] _cke_realelement="true"> + ... <IMG class=latex [mm] alt="$+\gamma_t w_t$" src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$%2B%5Cgamma_t%20w_t$" [/mm] _cke_realelement="true"> = 0
> zu zeigen ist, dass dies nur der Fall ist, wenn alle
> Koeffizienten 0 sind. Also die triviale Linearkombination
>
> <IMG class=latex [mm] alt="$\lambda_1 v_1$" src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$%5Clambda_1%20v_1$" [/mm] _cke_realelement="true"> + ... + <IMG class=latex [mm] alt="$\lambda_r v_r$" src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$%5Clambda_r%20v_r$" [/mm] _cke_realelement="true"> + <IMG class=latex [mm] alt="$\mu_1 u_1$" src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$%5Cmu_1%20u_1$" [/mm] _cke_realelement="true"> + ... <IMG class=latex [mm] alt="$+\mu_s u_s$" src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$%2B%5Cmu_s%20u_s$" [/mm] _cke_realelement="true"> = - <IMG class=latex [mm] alt="$\gamma_1 w_1$" src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$%5Cgamma_1%20w_1$" [/mm] _cke_realelement="true"> - ... <IMG class=latex [mm] alt="$-\gamma_t w_t$" src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$-%5Cgamma_t%20w_t$" [/mm] _cke_realelement="true"> = x <IMG class=latex [mm] alt=$\in$ [/mm] src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$%5Cin$" _cke_realelement="true"> U <IMG class=latex [mm] alt=$\cap$ [/mm] src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$%5Ccap$" _cke_realelement="true"> W
>
> und genau das verstehe ich nicht, warum ist dieser Vektor
> im Durchschnitt. Ich hab da jetzt schon einige male
> draufgeguckt, aber irgendwie komm ich nicht drauf.
Nun, wenn du nach oben schaust, hast du mit [mm] $(v_1,...v_n,u_1,...,u_s)$ [/mm] eine Basis von $U$, eine Linearkombination dieser Basis steht linkerhand, damit hast du [mm] $\in [/mm] U$
Rechterhand kannst du schreiben [mm] $0\cdot{}v_1+0\cdot{}v_2+...+0\cdot{}v_r-\gamma_1 w_1-\gamma_2 w_2-...-\gamma_t w_t$
[/mm]
Dies ist eine LK der oben stehenden Basis [mm] $(v_1,...,v_r,w_1,...,w_t)$ [/mm] von $W$.
Beide Seiten sind gleich und definiert als $:=x$
Dieser Vektor $x$ ist somit sowohl in $U$ (linke Seite) als auch in $W$ (rechte Seite)
> Wie gesagt, ich verstehe den 2ten Teil des Beweises nicht
> ganz - also warum x nun auf einmal in der "Menge" U <IMG class=latex [mm] alt=$\cap$ [/mm] src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$%5Ccap$" _cke_realelement="true"> W
> ist.
> Vielen Dank für die Hilfe.
>
> lg
> Babapapa
Gruß
schachuzipus
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