Diophantische Gleichung < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:00 Sa 30.10.2010 | | Autor: | RWBK |
| Aufgabe | | Mit Hilfe des Euklidischen Divisonsalgorithmus bestimme man sämtliche Lösungspaarre [mm] (a,b)\varepsilon \IZ^{2} [/mm] der Diophantischen Gleichung 3a+8b=100 |
Hier erstmal mein Lösungsansatz
3a+8b=100
8=3*2+2
3=2*1+1
2=2*1+0
Hab ich nach den jeweiligen Resten umgestellt
2=(8-3*2)
1=1-3*2
2=2*1+0
ggt(3,8) =1=3-2*1
1= 3-(8-3*2)*1
Ist das denn schon mal richtig und wenn ja wie muss man weiter vorgehen. Hoffe es kann mir jemand helfen.
MFG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:59 Sa 30.10.2010 | | Autor: | wauwau |
Also Euklid dividiert und rechnet mit rest weiter in deinem Falle:
$3a+8b=100$
[mm] $a=33-3b+\frac{1+b}{3}$
[/mm]
[mm] $u:=\frac{1+b}{3}$
[/mm]
$b=3u-1$
zurückeingesetzt
$a=33-3(3u-1)+u=36-8u$
daher sind die Lösungspaare
$(36-8u,3u-1) [mm] u\in\IZ$ [/mm] also z.B (36,-1), (28,2),....
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:49 Mi 03.11.2010 | | Autor: | RWBK |
Das verstehe ich leider noch nicht. Heißt das also das [mm] \bruch{1+b}{3} [/mm] mein Rest ist oder und woher kommt dann das b=3u+1???
Hoffe da kann mir jemand noch einmal ein Tipp geben. MFG
RWBK
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:46 Mi 03.11.2010 | | Autor: | moudi |
Hallo RWBK
Die Zahlen 3 und 8 sind teilerfrem. Deshalb kann man mit dem Euklidischen Algorithmus Zahlen [mm] $a^\ast$ [/mm] und [mm] $b^\ast$ [/mm] finden, so dass [mm] $3a^\ast+8b^\ast=1$. [/mm] Also ist [mm] $a=100a^\ast$ [/mm] und [mm] $b=100b^\ast$ [/mm] eine Loesung des Problems.
Alle Loesungen des Problems sind dann von der Form $a+8t,b-3t$ fuer [mm] $t\in\mathbb [/mm] Z$.
mfG Moudi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:59 Fr 05.11.2010 | | Autor: | wauwau |
> Das verstehe ich leider noch nicht. Heißt das also das
> [mm]\bruch{1+b}{3}[/mm] mein Rest ist oder und woher kommt dann das
> b=3u+1???
Der Rest muss ganzzahlig sein und daher setzt du diesen gleich u
dan drückst du b durch u aus und kommst auf b=3u+1
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:25 Fr 05.11.2010 | | Autor: | RWBK |
Danke wauwau!
Hab das jetzt verstanden und errechnen können. Danke für deine Hilfe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:21 Do 10.02.2011 | | Autor: | RWBK |
| Aufgabe | | Ein Winzer möchte gerne 188 Liter seines Weins in ein Gefäß abfüllen. Zur Verfügung stehen ihm zwie Meßbecher mit einem Inhalt von 5 bzw. 11 Liter. Wie muss er vorgehen, damit er mit möglichst wenig Umfülloperationen sein Ziel erreicht? |
Hallo und guten Tag, bei oben stehender Aufgabe komme ich leider nicht weiter. Weiß nicht mehr so genau wie ich das lösen soll.
Ich hab es wie folgt versucht
5a+11b=188
11=5*2+1
5=2*2+1 (ggT 5, 11)
2=1*2+0
Als Tipp steht hier in Restklassen transformieren.
Ich für meinen Teil würde dann die Restklasse Z5 nehmen dann hat er hier noch in KLammern stehen 0a+1b=3 das versteh ich nicht, wie kommt man auf die 1 b???
Weiter gebracht hat mich das bisher noch nicht so wirklich, Komme zwar durch überlegung auf das Ergebnis aber rechnerisch leider nicht.
mfg
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Hallo RWBK,
> Ein Winzer möchte gerne 188 Liter seines Weins in ein
> Gefäß abfüllen. Zur Verfügung stehen ihm zwie
> Meßbecher mit einem Inhalt von 5 bzw. 11 Liter. Wie muss
> er vorgehen, damit er mit möglichst wenig
> Umfülloperationen sein Ziel erreicht?
>
>
> Hallo und guten Tag, bei oben stehender Aufgabe komme ich
> leider nicht weiter. Weiß nicht mehr so genau wie ich das
> lösen soll.
>
> Ich hab es wie folgt versucht
>
> 5a+11b=188
>
> 11=5*2+1
Das hier reicht schon.
> 5=2*2+1 (ggT 5, 11)
> 2=1*2+0
>
> Als Tipp steht hier in Restklassen transformieren.
> Ich für meinen Teil würde dann die Restklasse Z5 nehmen
> dann hat er hier noch in KLammern stehen 0a+1b=3 das
> versteh ich nicht, wie kommt man auf die 1 b???
Hier wurde der Rest von 11 bei Division durch 5 ausgerechnet.
>
> Weiter gebracht hat mich das bisher noch nicht so wirklich,
> Komme zwar durch überlegung auf das Ergebnis aber
> rechnerisch leider nicht.
Die Kongruenz
[mm]1*b \equiv 3 \ \operatorname{modulo} \ \left(5\right)[/mm]
ist ja gleichbedeutend mit
[mm]b=3+\lambda*5, \ \lambda \in \IZ[/mm]
Mit dieser Kenntnis kannst Du die Lösungen für a berechnen.
>
> mfg
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Di 15.02.2011 | | Autor: | RWBK |
| Aufgabe | | Mit Hilfe des Euklidischen Divisionsalgorithmus bestimme man sämtliche Lösungspaare (a,b) e [mm] \IZ^{2} [/mm] der Diaphantischen Gleichung 3a+8b=100 |
Hallo,
bei dieser Aufgabe hänge ich fest hier erstmal mein Ansatz:
3a+8b =100
8=3*2+2
3=2*1+1 ggT(3,8)=1
2=1*2+0
Dann habe ich die zweite Zeile (3=2*1+1) nach dem Rest 1 umgestellt also
1=3-2*1 (1)
Dann habe ich die erste Zeile ( 8=3*2+2) nach dem Rest 2 umgestellt also
2=8-3*2 dies wollte ich dann in (1) einsetzen. Aber wie setze ich das jetzt ein hab das Verfahren ehrlich gesagt noch nicht richtig verstanden. Kann mir das vielleicht jemand noch mal bitte ein bissl an dieser Aufgabe erklären?
Mit freundlichen Grüßen
RWBK
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Hallo RWBK,
> Mit Hilfe des Euklidischen Divisionsalgorithmus bestimme
> man sämtliche Lösungspaare (a,b) e [mm]\IZ^{2}[/mm] der
> Diaphantischen Gleichung 3a+8b=100
> Hallo,
>
> bei dieser Aufgabe hänge ich fest hier erstmal mein
> Ansatz:
>
> 3a+8b =100
>
> 8=3*2+2
> 3=2*1+1 ggT(3,8)=1
> 2=1*2+0
>
>
> Dann habe ich die zweite Zeile (3=2*1+1) nach dem Rest 1
> umgestellt also
> 1=3-2*1 (1)
> Dann habe ich die erste Zeile ( 8=3*2+2) nach dem Rest 2
> umgestellt also
> 2=8-3*2 dies wollte ich dann in (1) einsetzen. Aber wie
> setze ich das jetzt ein hab das Verfahren ehrlich gesagt
> noch nicht richtig verstanden. Kann mir das vielleicht
> jemand noch mal bitte ein bissl an dieser Aufgabe
> erklären?
Wir haben die Ausgangsgleichung
[mm]3=2*1+1 \gdw 1= 1*3-1*2[/mm]
Nun ersetzt Du die "2" in dieser Gleichung durch [mm]1*8-2*3[/mm]:
[mm]1=1*3-1*\blue{2}=1*3-\blue{\left(1*8-2*3\right)}=3*3-1*8[/mm]
>
> Mit freundlichen Grüßen
> RWBK
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Di 15.02.2011 | | Autor: | RWBK |
Hallo,
[mm] 1=1\cdot{}3-1\cdot{}\blue{2}=1\cdot{}3-\blue{\left(1\cdot{}8-2\cdot{}3\right)}=3\cdot{}3-1\cdot{}8 [/mm]
Und hier habe ich jetzt einige Fragen wie kommt man den am Schluss auf 3*3-1*8 wo kommt die zweite 3 her ich hab da immer stehen
1=3-1*(8-2*3)
mfg
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> Hallo,
>
> [mm]1=1\cdot{}3-1\cdot{}\blue{2}=1\cdot{}3-\blue{\left(1\cdot{}8-2\cdot{}3\right)}=3\cdot{}3-1\cdot{}8[/mm]
>
> Und hier habe ich jetzt einige Fragen wie kommt man den am
> Schluss auf 3*3-1*8 wo kommt die zweite 3 her ich hab da
> immer stehen
Da wurden schlicht die Koeffizienten der 3 zusammengefasst (Achtung das - in der Klammer wird zum +):
[mm] $1\cdot{}3-\blue{\left(1\cdot{}8-2\cdot{}3\right)}=1\cdot{}3-1\cdot{}8 +2\cdot3=3\cdot [/mm] 3- [mm] 1\cdot [/mm] 8$
Somit ist (3,-1) ein Tupel, das die Gleichung 3a+8b=1 erfüllt.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:02 Di 15.02.2011 | | Autor: | RWBK |
Leider ist mir der letzte schritt immer noch nicht klar
=3-1*2 = 3-(1*8-2*3) =3+(-8+2*3) würde ich da jetzt raus machen aber das andere Versteh ich nicht.
mfg
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Hallo RWBK,
> Leider ist mir der letzte schritt immer noch nicht klar
>
> =3-1*2 = 3-(1*8-2*3) =3+(-8+2*3) würde ich da jetzt raus
> machen aber das andere Versteh ich nicht.
>
Löse jetzt die Klammern auf:
[mm]3-8+2*3[/mm]
In Gedanken steht vor der ersten 3 und vor der 8 eine 1:
[mm]\blue{1}*3-\blue{1}*8+2*3=\left(\blue{1}+2\right)*3-\blue{1}*8[/mm]
>
> mfg
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:42 Sa 26.02.2011 | | Autor: | RWBK |
| Aufgabe | Geben Sie alle ganzen Zahlen n an, für die der Ausdruck 5n+1 durch 7 ganzzahlig teilbar ist-
. |
Hallo,
diese Aufgabentypen kann und verstehe ich leider überhaupt. Unser Lehrer schreibt dann was von Restklassenring Z7 und multiplikation mit [mm] 3\varepsilon\IZ7 [/mm] liefert die Inverse 5 usw. Kann mir BITTE jemand einmal dieses Verfahren zum Beispiel an der obenstehenden Aufgabe erklären? Bin langsam am verzweifeln. Das geht in meine Birne nicht rein rein.
Mit freundlichen Grüßen
RWBK
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Hallo RWBK,
> Geben Sie alle ganzen Zahlen n an, für die der Ausdruck
> 5n+1 durch 7 ganzzahlig teilbar ist-
> .
> Hallo,
>
> diese Aufgabentypen kann und verstehe ich leider
> überhaupt. Unser Lehrer schreibt dann was von
> Restklassenring Z7 und multiplikation mit [mm]3\varepsilon\IZ7[/mm]
> liefert die Inverse 5 usw. Kann mir BITTE jemand einmal
> dieses Verfahren zum Beispiel an der obenstehenden Aufgabe
> erklären? Bin langsam am verzweifeln. Das geht in meine
> Birne nicht rein rein.
Da alle Zahlen [mm]5n+1, \ n \in \IZ[/mm] gesucht sind, die
durch 7 teilbar sind, gilt folgende Kongruenz:
[mm]5n+1 \equiv 0 \ \operatorname{mod} \ 7[/mm]
Um diese Kongruenz zu lösen, muß das Inverse von 5
bezüglich des Restklassenringes [mm][mm] \IZ7[7mm] [/mm] zu berechnen.
Da ggt(7,5)=1 gibt es eine Darstellung, so daß
[mm]\alpha*7+\beta*5=1, \ \alpha, \beta \in \IZ[/mm]
Dies löst man mit dem ![[]](/images/popup.gif) erweiterten euklidischen Algortihmus.
Hart man diese Inverse gefunden, so wird die Gleichung
[mm]5n+1 \equiv 0 \ \operatorname{mod} \ 7[/mm]
damit multipliziert.
>
> Mit freundlichen Grüßen
> RWBK
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Sa 26.02.2011 | | Autor: | RWBK |
Hi,
verstehe ich leider immer noch nicht. Nehmen wir mal ein anders beispiel aus meinem Skript
3x+5y=1
5=3*1+2
3=2*1+1 ggT ( 3,5) = 1
2=1*2+0
Bei der Aufgabe oben
5n+1 durch 7 teilbar
[mm] 5n+1\equiv [/mm] 0 mod 7 versteh ich noch
und
5=5*1+0 ggT (1,5) =1 ist mir auch noch klar. was danach kommt nicht mehr
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> Hi,
>
> verstehe ich leider immer noch nicht. Nehmen wir mal ein
> anders beispiel aus meinem Skript
> 3x+5y=1
>
> 5=3*1+2
> 3=2*1+1 ggT ( 3,5) = 1
> 2=1*2+0
>
> Bei der Aufgabe oben
> 5n+1 durch 7 teilbar
> [mm]5n+1\equiv[/mm] 0 mod 7 versteh ich noch
>
> und
> 5=5*1+0 ggT (1,5) =1 ist mir auch noch klar. was danach
> kommt nicht mehr
Du führst, wie von MathePower beschrieben, den erweiterten euklidischen Algorithmus aus:
[mm] $7=1\cdot [/mm] 5+2$
[mm] $5=2\cdot 2+\underline{1}$
[/mm]
[mm] $2=2\cdot [/mm] 1+0$
Bis hierhin ist das der 'nicht' erweiterte euklidische Algorithmus.
Nun die Erweiterung, dazu rückwärts rechnen und somit eine Lösung von $ [mm] \alpha\cdot{}7+\beta\cdot{}5=1, [/mm] \ [mm] \alpha, \beta \in \IZ [/mm] $ bestimmen:
[mm] $\underline{1}=5-2\cdot 2=5-2(7-1\cdot 5)=3\cdot [/mm] 5 - [mm] 2\cdot [/mm] 7$
Da wir uns im [mm] \IZ_7 [/mm] befinden ist [mm] $-2\cdot 7\equiv [/mm] 0 (7)$. Folglich [mm] $3\cdot 5\equiv [/mm] 1 (7)$. Also ist 3 das inverse Element von 5.
Jetzt die Ausgangsgleichung $ [mm] 5n+1\equiv [/mm] 0 (7)$ mit 3 multiplizieren [mm] \Rightarrow $3\cdot 5n+3\equiv 0(7)\gdw n+3\equiv 0(7)\gdw n\equiv-3 [/mm] (7)$
Gruß
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Sa 26.02.2011 | | Autor: | RWBK |
OK, einiges wird mir jetzt klarer aber jetzt hänge ich an folgender Stelle:
1=5-2*2=5-2(7-1*5) ist mir noch klar ist umstellen und einsetzen aber jetzt = 3*5-2*7
Woher kommt den jetzt die 3???
MFG
RWBK
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Hallo RWBK,
> OK, einiges wird mir jetzt klarer aber jetzt hänge ich an
> folgender Stelle:
>
> 1=5-2*2=5-2(7-1*5) ist mir noch klar ist umstellen und
> einsetzen aber jetzt = 3*5-2*7
> Woher kommt den jetzt die 3???
[mm]\blue{1}*5-\blue{2}*\left(7-\blue{1}*5\right)=\left( \ \blue{1-2*\left(-1\right)} \ \right)*5-2*7=\left( \ \blue{1+2*1} \ \right)*5-2*7=\blue{3}*5-2*7[/mm]
>
> MFG
> RWBK
Gruss
MathePower
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