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Diophantische Gleichung 3 Var < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Diophantische Gleichung 3 Var: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:03 Do 21.06.2018
Autor: mathelernender

Aufgabe
Gib die Lösungsmenge für 15x + 57y + 39z = 21 an

Hallo,
ich habe ein Problem beim Lösen der Aufgabe. Mit 2 Variablen kann ich das problemlos bearbeiten, bei 3 wird es dann schon kniffelig.

Ich beschreibe kurz mein Vorgehen, was ich bisher gemacht habe:

zunächst teile ich die Gleichung durch 3:

5x + 19y + 13z = 7

der ggt(5,19,13) ist 1, d.h. die Gleichung ist lösbar (weil 1 | 7).

Ich betrachte zunächst 5x + 19y = ggt(5,19) = 1

Daraus erhalte ich eine konkrete Lösung x=4,y=-1. Die allgemeine Lösung kann ich auch daraus konstruieren.

Jetzt betrachte ich (5*4 + 19*-1) * x' + 13z = ggt(ggt(5,19),13) = 1.

Ich erhalte x' = 1, z = 0.

bzw. x = 28,y=-7,z=0 für die ursprüngliche Gleichung, die das System löst (kann man per Probe feststellen).

Wie gebe ich für 3 Variablen die allgemeine Lösung an? Oder habe ich schon irgendwo einen Fehler gemacht, weil z=0?

        
Bezug
Diophantische Gleichung 3 Var: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:57 Do 21.06.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Gib die Lösungsmenge für 15x + 57y + 39z = 21 an
> Hallo,
> ich habe ein Problem beim Lösen der Aufgabe. Mit 2
> Variablen kann ich das problemlos bearbeiten, bei 3 wird es
> dann schon kniffelig.

>

> Ich beschreibe kurz mein Vorgehen, was ich bisher gemacht
> habe:

>

> zunächst teile ich die Gleichung durch 3:

>

> 5x + 19y + 13z = 7

>

> der ggt(5,19,13) ist 1, d.h. die Gleichung ist lösbar
> (weil 1 | 7).

>

> Ich betrachte zunächst 5x + 19y = ggt(5,19) = 1

>

> Daraus erhalte ich eine konkrete Lösung x=4,y=-1. Die
> allgemeine Lösung kann ich auch daraus konstruieren.

>

> Jetzt betrachte ich (5*4 + 19*-1) * x' + 13z =
> ggt(ggt(5,19),13) = 1.

>

> Ich erhalte x' = 1, z = 0.

>

> bzw. x = 28,y=-7,z=0 für die ursprüngliche Gleichung, die
> das System löst (kann man per Probe feststellen).

>

> Wie gebe ich für 3 Variablen die allgemeine Lösung an?
> Oder habe ich schon irgendwo einen Fehler gemacht, weil
> z=0?

Du hast keinen Fehler gemacht, aber das ist ja nur eine partikuläre Lösung. Im Falle einer Gleichung mit zwei Unbekannten könntest du jetzt die zugehörige homogene Gleichung allgemein lösen und diese Lösungen zu der partikulären Lösung addieren. Bei drei oder mehr Unbekannten funktioniert das aber nicht.

Wende das sog. Eulersche Reduktionsverfahren an. Du kannst unter diesem Begriff selbst im Internet suchen, es gibt jedoch auf den Mathematikseiten von Arndt Brünner eine sehr anschauliche []Erklärung des erwähnten Verfahrens, die du hier 1:1 übernehmen kannst.


Gruß, Diophant

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