Diophantische Gleichungen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:04 Mi 31.10.2012 | | Autor: | MattiJo |
| Aufgabe | a) Entscheide die Lösbarkeit der Diophantischen Gleichung 52x + 91y − 65z = 6. Gib im Falle der Lösbarkeit eine Lösung an.
b) Gib drei Lösungen der Diophantischen Gleichung 15477x + 3886y = 67 an.
c) Finde x, y ∈ Z mit 73685x + 25513y = 1. |
Hallo,
ich arbeite mich gerade durch folgende Aufgabenstellungen.
Bei der a) habe ich nun den ggT(52,91,-65) = ggt(52,91,65) = ggT(52,ggT(91,65)) = 13 mit dem zweimaligen Euklidischen Algorithmus bestimmt.
Hier ist aber mein Problem, da ich hier einen ggT in zwei Stufen habe, aber eine Linearkombination meines ggT brauche, um die Gleichung zu lösen.
Ich bekomme also zunächst als Linearkombination für ggT(91,-65) folgendes:
13 = -3 [mm] \cdot [/mm] -65 - 2 [mm] \cdot [/mm] 91.
Jetzt kann ich aber ja nicht mehr die 52, die dann im folgenden ggT kommt, einbauen, weil ich hier einfach 52 = 4 [mm] \cdot [/mm] 13 habe. Wie löse ich die Gleichung? Kann ich einfach [mm] \tilde{x}= [/mm] 0 setzen und dann [mm] \tilde{y} [/mm] =-2 sowie [mm] \tilde{z} [/mm] =-3 bekommen? (Dann würde es passen, aber ist x=0 überhaupt als Ergebnis einer diophantischen Gleichung erlaubt?)
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Hallo MattJo,
Du denkst zu kompliziert. 
> a) Entscheide die Lösbarkeit der Diophantischen Gleichung
> 52x + 91y − 65z = 6. Gib im Falle der Lösbarkeit eine
> Lösung an.
>
> b) Gib drei Lösungen der Diophantischen Gleichung 15477x +
> 3886y = 67 an.
>
> c) Finde x, y ∈ Z mit 73685x + 25513y = 1.
>
>
> ich arbeite mich gerade durch folgende Aufgabenstellungen.
> Bei der a) habe ich nun den ggT(52,91,-65) = ggt(52,91,65)
> = ggT(52,ggT(91,65)) = 13 mit dem zweimaligen Euklidischen
> Algorithmus bestimmt.
Das ist korrekt, wäre aber mit einer einfachen Primfaktorzerlegung sicher schneller gegangen.
> Hier ist aber mein Problem, da ich hier einen ggT in zwei
> Stufen habe, aber eine Linearkombination meines ggT
> brauche, um die Gleichung zu lösen.
Das meine ich: Du stellst Dir nicht das fertige Gericht vor, sondern denkst in Kochrezepten.
Da ggT(52,91,65)=13 ist, muss auch das absolute Glied durch 13 teilbar sein. Das ist 6 aber nicht. Also gibt es keine Lösung. Fertig.
> Ich bekomme also zunächst als Linearkombination für
> ggT(91,-65) folgendes:
>
> 13 = -3 [mm]\cdot[/mm] -65 - 2 [mm]\cdot[/mm] 91.
>
> Jetzt kann ich aber ja nicht mehr die 52, die dann im
> folgenden ggT kommt, einbauen, weil ich hier einfach 52 = 4
> [mm]\cdot[/mm] 13 habe. Wie löse ich die Gleichung? Kann ich
> einfach [mm]\tilde{x}=[/mm] 0 setzen und dann [mm]\tilde{y}[/mm] =-2 sowie
> [mm]\tilde{z}[/mm] =-3 bekommen? (Dann würde es passen, aber ist
> x=0 überhaupt als Ergebnis einer diophantischen Gleichung
> erlaubt?)
Bei b) teilst Du die Gleichung am besten erst einmal durch 67 (prim). Wenn das nicht aufgeht, gibt es keine Lösung. Wenn doch, dann geht die Aufgabe ab da wie c) - einfach durch den erweiterten euklidischen Algorithmus samt Rückrechnung.
Grüße
reverend
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