Dirac Integral < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie das folgende Dirac Integral:
[mm] I=\int_{-4}^{1}x^2\delta(2x^3+4x^2-16x)dx [/mm] |
Hallo zusammen,
mich interessieren ja hier zunächst die Nullstellen der Dirac Funktion, oder?
Also wenn ich das Polynom, welches die Dirac Funktion als Argument hat, zerlege erhalte ich [mm] \delta(x(2x^2+4x-16))=\delta(x(x-2)(x+4)), [/mm]
also bekomme ich die NS [mm] x_1=0, x_2=2, x_3=-4.
[/mm]
Diese Nullstellen liegen jetzt alle innerhalb des Inegrationsbereiches, also werden alle eine Rolle spielen, aber wie genau muss ich jetzt mit diesen umgehen, kann ich einfach sagen, das Integral ist die Summe der Funktionswerte von [mm] f(x)=x^2 [/mm] an den Nullstellen?
Also: I=0+4+16=20?
Wenn das so stimmt, würde mich noch interessieren, weshalb ich so argumentieren darf.
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:17 Mo 16.05.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Nein so darfst du eben nicht argumentieren. Leider ist es oft so dass das mit der Dirac-Funktion missverstanden wird bzw. viele meinen es reicht die Nullstellen zu suchen. Aber(!) die Fläche unter der Dirac-Funktion soll laut Def. eins sein! Und wenn du z.B. [mm] \delta(5*x) [/mm] hast, so ist die Fläche nicht mehr eins! ...also, was musst du demzufolge tun?
Gruss
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Gut, dass ich nochmals gefragt habe, danke für die Antwort!
Mir würde jetzt spontan nur einfallen, dass ich eine Rechenregel der Dirac Funktion ausnutzen sollte, die besagt, was ich machen muss, wenn ich im Argument der Dirac Funktion eine weitere Funktion habe- in deinem Bsp. f(x)=5x,
nämlich:
[mm] \delta(g(x))=\frac{\delta(x-x_0)}{\vert g’(x_0)\vert},
[/mm]
meintest du das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:29 Mo 16.05.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Diese Regel kenn ich nicht - scheint noch allgemeiner zu sein.
Aber man kann ja einfach selbst beim integrieren nachdenken:
[mm] \integral_{}^{}{\delta(a*x)dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\delta(y)dy*\bruch{1}{|a|}}
[/mm]
Gruss
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Das verstehe ich nicht so ganz...
Auf der linken Seite der Gleichung integriert man über x und auf der rechten Seite über y, wobei man noch durch den Betrag von a teilt?
Könntest du das vllt kurz erläutern?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:42 Mo 16.05.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Substitution a*x = y
---> dy/dx = a ---> dx = dy/a
Da auch noch auf die Integralgrenzen zu achten ist, ergibt sich schliesslich |a|...
Gruss
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Got it, danke!
Bei meinem konkreten Beispiel habe ich ja Faktoren...wie muss ich da Substituieren, damit das ganze einen Sinn ergibt?
Sry, die Funktion ist noch neu für mich.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:53 Mo 16.05.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Nimm an das g(x) = (x-2)(x-6)...
Wenn nun [mm] x_{0} [/mm] in die Nähe von 2 kommt siehts doch so aus:
[mm] (x_{0} [/mm] - [mm] 2)(x_{0} [/mm] - 6) ...wenn wir nun über diesen kleinen Bereich um 2 integrieren...dann ist doch in der Linken Klammer quasi das x von [mm] \delta(x*a) [/mm] und die Rechte klammer ist das a, also -4 ...klar?
sieh mal unter wolframalpha.com ...das kann das auch berechnen^^
Gruss
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