Direkte Summe von Kernen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei f [mm] \in End_{K}(V) [/mm] ein Endomorphismus mit f² = [mm] Id_{V}. [/mm] Zeigen Sie: Falls char(K) [mm] \not= [/mm] 2, so gilt V = Kern(f - [mm] Id_{V}) \oplus [/mm] Kern(f + [mm] Id_{V}). [/mm] |
Hat jemand eine Ahnung, wie man genau da Argumentieren kann?
Ich habe erstmal gezeigt, dass die beiden Mengen Kern(f - [mm] Id_{V}) [/mm] und Kern( f + [mm] Id_{V} [/mm] ) disjunkt sind, damit wir unsere interne direkte Summe bilden können (Ich zeige, dass Kern(f - [mm] Id_{V}) \cap [/mm] Kern( f + [mm] Id_{V} [/mm] ) = {0} ist):
Sei x:={ x : x [mm] \in [/mm] Kern[f(v) - f(f(v))] [mm] \cap [/mm] Kern[f(v) + f(f(v))] } [mm] \forall [/mm] v [mm] \in [/mm] V
={ x : x [mm] \in [/mm] Kern[f(f(v) - f(v))] [mm] \cap [/mm] Kern[f(f(v) + f(v))] }
={ x : x [mm] \in [/mm] Kern[f(0)] [mm] \cap [/mm] Kern[f(f(v) + f(v))] }
={ x : x [mm] \in [/mm] Kern[f(0)] [mm] \cap [/mm] Kern[f(f(v+v))] }
Da f linear => f(0)=0 ist eindeutig. D.h. die Schnittmenge wäre {0}
={ x : x [mm] \in [/mm] {0} [mm] \cap [/mm] Kern[f(f(v+v))] }
x={0} [mm] \Box
[/mm]
Aber wie zeige ich, dass z.B. "Kern( f - [mm] Id_{V} [/mm] ) [mm] \supset [/mm] Kern( f + [mm] Id_{V} [/mm] )" und "Kern( f - [mm] Id_{V} [/mm] ) [mm] \subset [/mm] Kern( f + [mm] Id_{V} [/mm] )" gelten?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:52 Do 04.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei f [mm]\in End_{K}(V)[/mm] ein Endomorphismus mit f² = [mm]Id_{V}.[/mm]
> Zeigen Sie: Falls char(K) [mm]\not=[/mm] 2, so gilt V = Kern(f -
> [mm]Id_{V}) \oplus[/mm] Kern(f + [mm]Id_{V}).[/mm]
> Hat jemand eine Ahnung, wie man genau da Argumentieren
> kann?
>
> Ich habe erstmal gezeigt, dass die beiden Mengen Kern(f -
> [mm]Id_{V})[/mm] und Kern( f + [mm]Id_{V}[/mm] ) disjunkt sind, damit wir
> unsere interne direkte Summe bilden können (Ich zeige,
> dass Kern(f - [mm]Id_{V}) \cap[/mm] Kern( f + [mm]Id_{V}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
) = {0} ist):
> Sei x:={ x : x [mm]\in[/mm] Kern[f(v) - f(f(v))] [mm]\cap[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Kern[f(v) +
> f(f(v))] } [mm]\forall[/mm] v [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
V
> ={ x : x [mm]\in[/mm] Kern[f(f(v) - f(v))] [mm]\cap[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Kern[f(f(v)
> + f(v))] }
> ={ x : x [mm]\in[/mm] Kern[f(0)] [mm]\cap[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Kern[f(f(v) + f(v))]
> }
> ={ x : x [mm]\in[/mm] Kern[f(0)] [mm]\cap[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Kern[f(f(v+v))] }
> Da f linear => f(0)=0 ist eindeutig. D.h. die Schnittmenge
> wäre {0}
> ={ x : x [mm]\in[/mm] {0} [mm]\cap[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Kern[f(f(v+v))] }
> x={0} [mm]\Box[/mm]
>
> Aber wie zeige ich, dass z.B. "Kern( f - [mm]Id_{V}[/mm] ) [mm]\supset[/mm]
> Kern( f + [mm]Id_{V}[/mm] )" und "Kern( f - [mm]Id_{V}[/mm] ) [mm]\subset[/mm] Kern(
> f + [mm]Id_{V}[/mm] )" gelten?
Da gehts ja kraus zu. Das mag man gar nicht lesen . Vieles ist falsch und unsinnig. Machs Dir nicht so schwer !
Du hast: [mm] $f^2 [/mm] = [mm] Id_{V}. [/mm] $
Damit ist [mm] $(f-id_V)(f+id_V)=0$
[/mm]
FRED
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> Da gehts ja kraus zu. Das mag man gar nicht lesen . Vieles
> ist falsch und unsinnig. Machs Dir nicht so schwer !
>
> Du hast: [mm]f^2 = Id_{V}.[/mm]
>
> Damit ist [mm](f-id_V)(f+id_V)=0[/mm]
>
>
> FRED
Danke!
Was genau hast du denn hier angewendet bzw. gezeigt? Ich schätze mal die 0 bezieht sich darauf, dass die Schnittmenge von oben disjunkt sein soll, erkenne aber nicht genau wie das damit gezeigt ist.
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> > Du hast: [mm]f^2 = Id_{V}.[/mm]
> >
> > Damit ist [mm](f-id_V)(f+id_V)=0[/mm]
> >
> Was genau hast du denn hier angewendet bzw. gezeigt? Ich
> schätze
> mal die 0 bezieht sich darauf, dass die
> Schnittmenge von oben disjunkt sein soll
Hallo,
Du sprichst in Rätseln. Echt.
[mm] f^2=id
[/mm]
<==> [mm] f^2-id= [/mm] Nullfunktion
<==> [mm] (f-id)\circ(f+id)= [/mm] Nullfunktion.
Für alle [mm] x\in [/mm] V gilt also bei Deiner Funktion f dies:
(f-id)((f+id)(x))=0.
> erkenne aber
> nicht genau wie das damit gezeigt ist.
Daß das nun der ganze Beweis ist, hat auch niemand behauptet.
Aber es kann nützlich sein.
Gruß v. Angela
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> Sei f [mm]\in End_{K}(V)[/mm] ein Endomorphismus mit f² = [mm]Id_{V}.[/mm]
> Zeigen Sie: Falls char(K) [mm]\not=[/mm] 2, so gilt V = Kern(f -
> [mm]Id_{V}) \oplus[/mm] Kern(f + [mm]Id_{V}).[/mm]
> Hat jemand eine Ahnung, wie man genau da Argumentieren
> kann?
>
> Ich habe erstmal gezeigt, dass die beiden Mengen Kern(f -
> [mm]Id_{V})[/mm] und Kern( f + [mm]Id_{V}[/mm] ) disjunkt sind,
Hallo,
"disjunkt" wird nicht klappen. (Warum nicht?)
Ich sag' mal so: Du hattest die Absicht, zu zeigen, daß der Schnitt der beiden Kerne [mm] =\{0\} [/mm] ist, was eine gute Idee ist.
Vorgehensweise: Du nimmst Dir ein x aus dem Schnitt und zeigst, daß es zwangsläufig die Null sein muß.
Sei [mm] x\in [/mm] Kern(f [mm] -$Id_{V}) \cap$ [/mm] Kern(f + [mm] $Id_{V})$
[/mm]
==> [mm] x\in [/mm] Kern(f [mm] -$Id_{V}) \quad [/mm] und [mm] \quad$ x\in [/mm] Kern(f + [mm] $Id_{V})$
[/mm]
==> ... ==> ... ==> ... ==> x=0.
> Aber wie zeige ich, dass z.B. "Kern( f - [mm]Id_{V}[/mm] ) [mm]\supset[/mm]
> Kern( f + [mm]Id_{V}[/mm] )" und "Kern( f - [mm]Id_{V}[/mm] ) [mm]\subset[/mm] Kern(
> f + [mm]Id_{V}[/mm] )" gelten?
Sinnigerweise überhaupt nicht. Wo steht denn etwas davon, daß Du die Gleichheit der Kerne zeigen sollst?
Du sollst jetzt zeigen, daß
V = Kern(f - [mm] $Id_{V})+$ [/mm] Kern(f + [mm] $Id_{V}).$
[/mm]
Hierfür ist zu zeigen:V [mm] \subseteq [/mm] Kern(f - [mm] $Id_{V})+$ [/mm] Kern(f + [mm] $Id_{V}).
[/mm]
Die andere Teilmengenbeziehung ist trivial. (Warum?)
Also:
zu zeigen: V [mm] \subseteq [/mm] Kern(f - [mm] $Id_{V})+$ [/mm] Kern(f + [mm] $Id_{V}).
[/mm]
Beweis: sei [mm] x\in [/mm] V.
Zerlege nun x so in eine Summe, daß der eine Summand im einen Kern liegt und der andere im anderen.
Probiere mal ein bißchen herum.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:15 Fr 05.11.2010 | | Autor: | Raute1337 |
> Du sprichst in Rätseln. Echt.
Sehe ich ein, Schande über mein Haupt! (Ich hab' es mit den Aufgaben etwas übertrieben und nach 8h konnte ich kaum noch einen klaren Gedanken fassen. Als ich heut Morgen aufgewacht bin hatte ich komischerweise direkt eine Lösung einer anderen Aufgabe vor Augen. Gut Ding will halt Weile haben!)
> "disjunkt" wird nicht klappen. (Warum nicht?)
Laut Def. bedeuted "disjunkt sein" ja nichts anderes als "elementfremd", aber da die beiden Kerne immer die 0 auf die 0 abbilden (da die Abbildung linear ist), haben sie mind. ein gleiches Element. Ich glaube ich habe da [mm] \emptyset [/mm] und [mm] \{0\} [/mm] durcheinander gebracht.
Genau mit diese [mm] \{0\} [/mm] können wir dann ausfindig machen, damit die interne direkte Summe auch durchführbar ist.
> Hierfür ist zu zeigen:V [mm]\subseteq[/mm] Kern(f - [mm]$Id_{V})+$[/mm]
> Kern(f + [mm]$Id_{V}).[/mm]
> Die andere Teilmengenbeziehung ist trivial. (Warum?)
Die Kerne sind schon Teilmengen von V. Und ich würde dazu mit der Abgeschlossenheit von V argumentieren, dass die "Summe" tatsächlich eine Teilmenge bleibt.
> Zerlege nun x so in eine Summe, daß der eine Summand im
> einen Kern liegt und der andere im anderen.
> Probiere mal ein bißchen herum.
>
> Gruß v. Angela
>
Heute Abend werde ich nochmal etwas herumtüfteln.
Vielen Dank Angela, du hast mir jedenfalls sehr geholfen!
So allmählich bekommen die ganzen Begriffe etwas Farbe und man kann sich schon was darunter vorstellen (unser Professor in LA hat quasi damit angefangen erstmal nur alle wichtigen Definition zu Körpern, Vektorräumen, lineare Abbildungen etc. einzuführen und jetzt verstrickt sich langsam alles und man erkennt sogar ein paar Sachen aus der Schule wieder). Aber sich manche Sachen vorzustellen fällt trotzdem noch schwer. Wie z.B. ein Endomorphismus kontruieren, der injektiv aber nicht surjektiv ist. Unser Tutor hat uns heut Morgen aber dazu ein (nicht ganz so simples) Beispiel genannt. Ich schätze mal das klärt sich alles mit der Zeit!
Mit freundlichem Gruß! #
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> > "disjunkt" wird nicht klappen. (Warum nicht?)
> Laut Def. bedeuted "disjunkt sein" ja nichts anderes als
> "elementfremd", aber da die beiden Kerne immer die 0 auf
> die 0 abbilden (da die Abbildung linear ist), haben sie
> mind. ein gleiches Element. Ich glaube ich habe da
> [mm]\emptyset[/mm] und [mm]\{0\}[/mm] durcheinander
Hallo,
Kerne bilden gar nichts ab. Das sind doch Mengen, sogar Vektorräume.
Du wolltest sicher erzählen, daß der Nullvektor stets im Kern einer linearen Abbildung ist, weil die Null stets auf die Null abgebildet wird.
> > Hierfür ist zu zeigen:V [mm]\subseteq[/mm] Kern(f - [mm]Id_{V})+[/mm]Kern(f + [mm]$Id_{V}).[/mm]
> > Die andere Teilmengenbeziehung ist trivial. (Warum?)
> Die Kerne sind schon Teilmengen von V. Und ich würde dazu
> mit der Abgeschlossenheit von V argumentieren, dass die
> "Summe" tatsächlich eine Teilmenge bleibt.
Ja.
>
> > Zerlege nun x so in eine Summe, daß der eine Summand im
> > einen Kern liegt und der andere im anderen.
> > Probiere mal ein bißchen herum.
> >
> > Gruß v. Angela
> >
>
> Heute Abend werde ich nochmal etwas herumtüfteln.
> Vielen Dank Angela, du hast mir jedenfalls sehr geholfen!
Freut mich.
Gruß v. Angela
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