Direkte Summe von Unterräumen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien U1,...,Un Unterräume eines emdlich erzeugten K-Vektorraums V.
Wir sagen, dass die Summe U1+...+Un Teilmenge V eine direkte Summe ist, wenn U1 geschnitten (U1+...+U(i-1)+U(i+1)+...+Un) = {0} für alle i=1,...,n gilt
(a) Prüfen sie, ob die folgende Ausage gilt :
Die Summe U1+...+Un ist direkt (äquivalent zu) Ui geschnitten Uj = {0} für alle i,j=1,...,n mit i ungleich j
Wenn nein, untersuchen sie weiter, ob die Aussage wenigstens in eine Richtung gilt
(b)Zeigen Sie:
Die Summe U1+...+Un ist genau dann direkt, wenn dim(U1+...+Un)=dimU1+...+dimUn. Wie erhält man in dem Fall eine Basis von U1+...+Un aus den Basen der UNterräume U1,...,Un? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Zusammen,
also bei Aufgabe (a):
ich bin hier recht ratlos. Ich habe lediglich festgestellt, dass die Frage nach Aussagerichtigkeit in einer Richtung doch schon durch zeigen (oder nicht zeigen) der Äquivalenz beantwortet ist. Wie ich aber vorgehen muss weiß ich nicht.
Zu Aufgabe (b):
Der Ausdruck ähnelt ja sehr der Dimensionsformel. Das heißt doch, dass im vereinfachten Fall dim(U1geschnittenU2) = {0} sein muss. Jetzt steht, dass ja schon in der Voraussetzung etwas umfangreicher mit Indizes i drin. Kann ich das nicht verwenden ?
Was die Basis angeht, vermute, dass man die Basen der Unterräume vereinigen muss, aber auch hier weiß ich nicht wie ich vorgehen soll.
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> Seien [mm] U_1,...,U_n [/mm] Unterräume eines emdlich erzeugten
> K-Vektorraums V.
> Wir sagen, dass die Summe [mm] U_1+...+U_n\subseteq [/mm] V eine
> direkte Summe ist,
wenn U1 [mm] \cap [/mm] (U1+...+U(i-1)+U(i+1)+...+Un) = {0} für alle i=1,...,n gilt
>
> (a) Prüfen sie, ob die folgende Ausage gilt :
> Die Summe [mm] U_1+...+U_n [/mm] ist direkt
<==>
> [mm] U_i \cap [/mm] Uj = {0} für alle i,j=1,...,n mit [mm] i\not=j [/mm] .
> Wenn nein, untersuchen sie weiter, ob die Aussage
> wenigstens in eine Richtung gilt
>
> (b)Zeigen Sie:
> Die Summe [mm] U_1+...+U_n [/mm] ist genau dann direkt, wenn
> [mm] dim(U_1+...+U_n)=dimU_1+...+dimU_n. [/mm] Wie erhält man in dem Fall
> eine Basis von [mm] U_1+...+U_n [/mm] aus den Basen der UNterräume
> [mm] U_1,...,U_n?
[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo Zusammen,
>
> also bei Aufgabe (a):
> ich bin hier recht ratlos. Ich habe lediglich festgestellt,
> dass die Frage nach Aussagerichtigkeit in einer Richtung
> doch schon durch zeigen (oder nicht zeigen) der Äquivalenz
> beantwortet ist.
Hallo,
ja, die Richtigkeit einer Aussage zeigt man durch Beweisen, die Nichtgültigkeit durch Widerlegen.
Am besten notierst Du erstmal getrennt die beiden zu zeigenden Richtungen. Dann denke getrennt über beide Richtungen nach.
> Wie ich aber vorgehen muss weiß ich
> nicht.
Es fällt mir gerade schwer, Dir zu helfen, weil mir nicht klar ist, ob Du überhaupt verstanden hast, worum es geht und ob Vorkenntnisse vorhanden sind.
Betrachte mal dieses Beispiel:
[mm] U_1:=<\vektor{1\\0\\0}>,
[/mm]
[mm] U_2:=<\vektor{0\\1\\0}>,
[/mm]
[mm] U_3:=<\vektor{1\\1\\0}>.
[/mm]
Und? Was fällt Dir dazu ein?
> Zu Aufgabe (b):
> Der Ausdruck ähnelt ja sehr der Dimensionsformel. Das
> heißt doch, dass im vereinfachten Fall
> dim(U1geschnittenU2) = {0} sein muss. Jetzt steht, dass ja
> schon in der Voraussetzung etwas umfangreicher mit Indizes
> i drin. Kann ich das nicht verwenden ?
Ich kann hier weder ja noch nein sagen, weil Du nicht vormachst, wie Dein Plan ist.
Auf jeden Fall solltest Du auch hier wieder beide Richtungen getrennt notieren.
> Was die Basis angeht, vermute, dass man die Basen der
> Unterräume vereinigen muss,
Ja.
Ich würde das vielleicht sogar zuerst zeigen.
> aber auch hier weiß ich nicht
> wie ich vorgehen soll.
Na, setze voraus, daß die Summe direkt ist und sag: "dies ist eine Basis von [mm] U_1, [/mm] das von [mm] U_2, [/mm] usw, jene von [mm] U_n".
[/mm]
Weise dann nach, daß die Vereinigung eine Basis der Summe ist, indem Du die lineare Unabhängigkeit zeigst und daß es ein Erzeugendensystem ist.
LG Angela
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