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Dirichlet-Funktion: Tipp, Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:54 Do 02.05.2019
Autor: TS85

Aufgabe
Dirichlet-Funktion D: [mm] \IR \to \IR: [/mm]
D(x):= [mm] 1_\IQ(x):= \begin{cases} 1, & \mbox{falls } x \in \IQ \\ 0, & \mbox{sonst }\end{cases} [/mm]

Zu zeigen ist, dass D [mm] \mathcal{B}(\IR)-\mathcal{B}(\IR)-messbar [/mm] ist.

Bekannt ist mir, dass eine Fallunterschiedung durchgeführt werden soll mit B [mm] \in \mathcal{B}(\IR). [/mm] Vermutlich wohl mit den rationalen und irrationalen Zahlen. Bekannt ist mir außerdem nur, dass bestimmte Teilmengen des [mm] \IR^n [/mm] Borel-Mengen sind (z.B. offene/abgeschlossene Teilmengen).
Vermutlich lässt sich [mm] \IQ [/mm] als eine bestimtte Teilmenge darstellen.

Was genau muss gezeigt werden?

        
Bezug
Dirichlet-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:19 Do 02.05.2019
Autor: fred97


> Dirichlet-Funktion D: [mm]\IR \to \IR:[/mm]
>  D(x):= [mm]1_\IQ(x):= \begin{cases} 1, & \mbox{falls } x \in \IQ \\ 0, & \mbox{sonst }\end{cases}[/mm]
>  
> Zu zeigen ist, dass D
> [mm]\mathcal{B}(\IR)-\mathcal{B}(\IR)-messbar[/mm] ist.
>  Bekannt ist mir, dass eine Fallunterschiedung
> durchgeführt werden soll mit B [mm]\in \mathcal{B}(\IR).[/mm]
> Vermutlich wohl mit den rationalen und irrationalen Zahlen.
> Bekannt ist mir außerdem nur, dass bestimmte Teilmengen
> des [mm]\IR^n[/mm] Borel-Mengen sind (z.B. offene/abgeschlossene
> Teilmengen).
>  Vermutlich lässt sich [mm]\IQ[/mm] als eine bestimtte Teilmenge
> darstellen.
>  
> Was genau muss gezeigt werden?

Gezeigt werden muss: ist $B [mm] \in \mathcal{B}( \IR)$, [/mm] so ist [mm] $D^{-1}(B) \in \mathcal{B}( \IR)$. [/mm]

Fall 1: $0,1 [mm] \notin [/mm] B$. Dann ist  [mm] $D^{-1}(B) [/mm] = [mm] \emptyset.$ [/mm]

Fall 2: $0,1 [mm] \in [/mm] B$. Dann ist [mm] $D^{-1}(B) =\IR.$ [/mm]

Fall 3: $0 [mm] \in [/mm] B, 1 [mm] \notin [/mm] B$. Dann ist  [mm] $D^{-1}(B) [/mm] = ?$

Fall 4: $0 [mm] \notin [/mm] B, 1 [mm] \in [/mm] B$. Dann ist  [mm] $D^{-1}(B) [/mm] = ?$

Kläre die Fragezeichen in den Fällen 3 und 4.

Dann solltest Du sehen: [mm] $D^{-1}(B) \in \mathcal{B}( \IR)$. [/mm]



Bezug
                
Bezug
Dirichlet-Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:37 Do 02.05.2019
Autor: TS85

Heißt noch:

Fall 3: [mm] D^{-1}(B)= \IR [/mm] \ [mm] \IQ [/mm]
Fall 4: [mm] D^{-1}(B)= \IQ [/mm]

Danke für die Info, ohne den formalen Ablauf zu wissen wäre ich darauf nicht gekommen..

Bezug
                        
Bezug
Dirichlet-Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:31 Fr 03.05.2019
Autor: fred97

Eine Bemerkung: genauso zeigt man für $A [mm] \subseteq \IR$: [/mm]

[mm] $1_A$ [/mm] ist [mm] $\mathcal{B}(\IR) [/mm] - [mm] \mathcal{B}(\IR)$-messbar $\gdw [/mm] A [mm] \in \mathcal{B}(\IR).$ [/mm]

Bezug
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