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Hallo
Ich habe aus einer anderen Aufgabe gegeben, dass:
[mm]\tilde{a_{n}} := #\lbrace I \subset \mathbb{Z}_{K} \text{ ideal }: N(I) \le n \rbrace \le n(1+log(n))^{\left[K:\mathbb{Q}\right]-1}[/mm]
Nun definiert man [mm]a_{n} := #\lbrace I \subset \mathbb{Z}_{K} \text{ ideal }: N(I) = n \rbrace[/mm]
Zu zeigen: [mm]\zeta_{K}(s) = \sum\limits_{n\ge 1}{\frac{a_{n}}{n^{s}}}[/mm] konvergiert.
Nun, dazu muss ich nur die [mm]a_{i}[/mm] gut abschätzen. Denn sind sie beschränkt, so konvergiert die Reihe. Jedoch bin ich nicht ganz überzeugt, dass dies überhaupt der Fall ist. Ich kann ja schreiben: (setze [mm]d := \left[K:\mathbb{Q}\right][/mm])
[mm]a_{n} = \tilde{a_{n}}-\tilde{a_{n-1}} \le n(1+log(n))^{d-1} - (n-1)(1+log(n-1))^{d-1}[/mm]
Ich habe nun versucht, dies so umzuformen, dass ich was gescheites abschätzen kann... jedoch gelingt es mir nicht. Wird es überhaupt gehen mit diesem Ansatz?
Ich bitte um Hilfe.. :)
Grüsse, Arcesius
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:30 Di 09.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Arcesius!
> Ich habe aus einer anderen Aufgabe gegeben, dass:
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> [mm]\tilde{a_{n}} := #\lbrace I \subset \mathbb{Z}_{K} \text{ ideal }: N(I) \le n \rbrace \le n(1+log(n))^{\left[K:\mathbb{Q}\right]-1}[/mm]
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> Nun definiert man [mm]a_{n} := #\lbrace I \subset \mathbb{Z}_{K} \text{ ideal }: N(I) = n \rbrace[/mm]
>
> Zu zeigen: [mm]\zeta_{K}(s) = \sum\limits_{n\ge 1}{\frac{a_{n}}{n^{s}}}[/mm]
> konvergiert.
Hier ist vermutlich [mm] $\Re [/mm] s > 1$?
> Nun, dazu muss ich nur die [mm]a_{i}[/mm] gut abschätzen. Denn sind
> sie beschränkt, so konvergiert die Reihe. Jedoch bin ich
> nicht ganz überzeugt, dass dies überhaupt der Fall ist.
Ich denke nicht, dass dies der Fall ist. Der [mm] $\log(n)$-Term [/mm] versaut alles 
> Ich kann ja schreiben: (setze [mm]d := \left[K:\mathbb{Q}\right][/mm])
>
> [mm]a_{n} = \tilde{a_{n}}-\tilde{a_{n-1}} \le n(1+log(n))^{d-1} - (n-1)(1+log(n-1))^{d-1}[/mm]
Das ist falsch. Es ist zwar [mm] $a_n [/mm] = [mm] \tilde{a}_n [/mm] - [mm] \tilde{a}_{n-1}$, [/mm] jedoch kannst du nur [mm] $\tilde{a}_n$ [/mm] nach oben Abschaetzen, jedoch nicht [mm] $\tilde{a}_{n-1}$ [/mm] nach Unten (ausser durch $0$, aber das bringt dir nichts...)!
> Ich habe nun versucht, dies so umzuformen, dass ich was
> gescheites abschätzen kann... jedoch gelingt es mir nicht.
> Wird es überhaupt gehen mit diesem Ansatz?
Nun, offenbar reicht fuer die Konvergenz das Wissen ueber die [mm] $\tilde{a}_n$, [/mm] oder genauer gesagt, ueber [mm] $\limsup_{n\to\infty} \frac{\log \tilde{a}_n}{\log n}; [/mm] siehe etwa ![[]](/images/popup.gif) hier.
Wie das genau geht kann ich dir grad nicht sagen, da muss ich noch etwas drueber nachdenken.
(Und erstmal sollte ich schlafen gehen  )
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mi 10.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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