Dirichlet Problem: Ableitung 0 < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man zeige, dass
a) Für die Wellengleichung ist das Dirichlet-Problem auf [0,l] [mm] f_d :=\frac{1}{2}*(\integral_{0}^{l}{ c^{-2} *(\partial_t u )^2 dx} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{1}{ (\partial_x u )^2 dx}) [/mm] eine Grösse, die bezgl. Zeit erhalten bleibt.
b) Dasselbe für die Wellengleichung auf [0,l] mit Robin Randwerten gilt mit
[mm] f_r:= \frac{1}{2}*(\integral_{0}^{l}{ c^{-2} *(\partial_t u )^2 dx} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{1}{ (\partial_x u )^2 dx}) +\frac{1}{2}a_l *u(l,t)^2 [/mm] + [mm] \frac{1}{2}*a_0*u(0,t)^2 [/mm] |
a)
Also ich muss wohl [mm] f_d [/mm] nach t ableiten und zeigen, dass diese Ableitung immer 0 ist. Dann bleibt diese Grösse bezgl. Zeit erhalten... . Nach Einsetzen der WGL und partieller Integration erhalte ich [mm] \partial_t f_d [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] ( [mm] \partial_x [/mm] u(l,t)* [mm] \partial_t u(l,t)-\partial_x [/mm] u(0.t) * [mm] \partial_t [/mm] u(0,t) )
Ich verstehe aber nicht, warum das 0 sein soll? Dirichlet Problem heisst hier doch nur, dass die Randwerte=0 sind, ja?
b)
Hier gilt [mm] \partial_x u(l,t)+a_l [/mm] (l,t)=0 sowie [mm] \partial_x u(0,t)-a_0*u(0,t)=0
[/mm]
Also habe ich dann [mm] f_r [/mm] nach t abgeleitet, umgeformt und folgendes erhalten:
[mm] \partial_t f_r [/mm] = [mm] \frac{1}{2}*(a_l *u(l,t)*(u(l,t)-\partial_t *u(l,t))+a_0 *u(0,t)*(u(0,t)-\partial_t*u(0,t)) [/mm] )
Warum kommt hier jeweils 0 heraus?
Grüsse
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Do 25.04.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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